ДиодГанна

Методика расчета

Введение

Диоды Ганна, как твердотельные генераторы токов вдиапазоне СВЧ находят очень широкое применение в разнообразнейших устройствахблагодаря своим несомненным преимуществам: легкости, компактности, надежности,эффективности и др.

Со времен своего появления диоды Ганна неоднократносовершенствовались. Шло повышение рабочих частот, приводящее к соответственномууменьшению размеров кристалла; принимались различные меры по увеличению КПДдиодов и их выходной мощности.

Все это время рассчет диодов Ганна представлял собойочень длительный и трудоемкий процесс, даже с использованием компьютеров первыхпоколений. Однако, в наше время, в век стремительного роста материально-научнойбазы компьютерной техники становится возможным построить программноеобеспечение, позволяющее произвести рассчет диода Ганна легко и просто.

Теоретические сведения

Эффект, применяемый в диодах Ганна, проявляетсяв особом классе полупроводниковх веществ – многодолинных полупроводниках. Чащевсего диоды Ганна изготавливаются на основе арсенида галлия (GaAs),поэтому в данной работе он и берется за основу. Арсенид галлия – двухдолинныйполупроводник, имеющий разность энергий между долинами в 0,36 Эв. При этом,из-за различия эффективных масс в разных долинах, зависимость скоростиэлектронов от величины приложенного поля такова:

Это происходит в силу того, что электроны, набираяначальную скорость, находятся в нижней долине, где их эквивалентная масса мала.При некотором значении энергии электроны начинают попадать во вторую долину,теряя при этом 0,36 Эв энергии. Кроме того, в верхней долине их эквивалентнаямасса велика, поэтому они ускоряются полем значительно медленнее, чем в нижней.

Диод Ганна работает в импульсном режиме, когдаактивизируется его отрицательное дифференциальное сопротивление. Для этого втеле полупроводника возле катода создается область повышенного легирования,излучающая порции (сгустки) электронной плазмы. При этом электроныконцентрируются благодаря эффекту Ганна, и сгусток устремляется к аноду,вызывая во внешней цепи импульс тока.

Температурная модель диодов Ганна

Исследования данной проблемы методом Монте-Карлопоказали, что основным недостатком применяемых до сих пор методов (например,локально-полевого) является то, что они не учитывают конечность времениразогрева электронов в нижней долине и конечность времени междолинногоперехода, что делает их непригодными в диапазоне миллиметровых волн. Болееперспективными в этом случае являются различные модификации гидродинамических илитемпературных моделей, в которых имеется четкое разделение электронов по нижнейи верхней долинам, и конечность времени разогрева учитывается уравнениемсохранения энергии.

Существуют различные гидродинамические модели. Мырассмотрим так называемую двухтемпературную модель, в которой энергияэлектронов характеризуется максвелловской функцией распределения с различнойтемпературой электронов в разных долинах, причем в верхней долине температураэлектронов предполагается равной температуре решетки. Эта модель относительнопроста и достаточно оправдана физически.

Уравнения двухтемпературной модели доидов Ганна можноопределить следующим образом.

Уравнение Пуассона.

Тут n_1,2– концентрация свобоных электронов внижней и верхней долине соответственно; Е – напряженность электрического поля; n₀ – концентрация неподвижных доноров.

Уравнения сохранения заряда для нижней и верхнейдолины соответственно:

Тут u_1,2– скорость потока электронов в верхней инижней долинах соответственно; t₁₂и t₂₁ – времяперехода из нижней долины в верхнюю и из верхней в нижнюю соответственно.Уравнение сохранения энергии для нижней долины можно переписать следующимобразом:

В данной формуле E₁ – средняя энергия электронов в нижней долине; аиндекс «ст» означает скорость изменения энергии электрона в нижней долиневследствие столкновения с фононами; индекс «1-2» означает скорость измененияэнергии вследствие междолинного перехода; n₁u₁E – скорость разогрева электронов полем.

Скорость изменения энергии электронов вследствие столкновенийи междолинных переходов может быть представлена в виде

где Е₀ – энергия, соответствующаятемпературе решетки; t_e1– время релаксации электронов по энергии.

Появление в данной формуле Δ связано с тем, чтоиз нижней долины в верхнюю могут попасть только высокоэнергетичные электроны сэнергией, большей Δ.

Если предположить, что распределение электроновв нижней долине характеризуется статистикой Максвелла, когда

и обозначить в качестве температуры (в вольтах)величину

то окончательно уравнение закона сохраненияэнергии в нижней долине примет вид:

В верхней долине температура электронов принимаетсяравной Т₂=Т₀.

Статическая температурная модель

Недостатком температурной модели является тот факт,что величины t₁₂,t₂₁и t_e1 не являются такими четко измеряемымихарактеристиками, как пороговое поле эффекта Ганна, пороговая скорость,скорость насыщения. Поэтому, для определения параметров модели необходимоопределить их соответствие измеряемым характеристикам, прежде всего –характеристики скорость-поле. Для этого надо вычислить статическуюхарактеристику скорость-поле по температурной модели и подобрать параметрымодели так, чтоб она соответствовала измеряемой характеристике.

Для этого в уравнениях динамической модели необходимоприравнять нулю производные по времени и пространственной координате. Крометого, требуется учесть еще несколько физических моментов.

Рассмотрим скорость перехода электронов издолины в долину. В стационарном режиме скорости этих переходов равновероятны. Внижней долине переход могут совершить только электроны с энергией, большей, чемширина междолинного зазора. Вероятность иметь эту энергию:

где А зависит от общего количества электронов в долинеи плотности состояний в верхней долине. В верхней долине вероятность (скорость)перехода пропорциональна количеству электронов в верхней долине и плотностисостояний в нижней. В итоге должно выполняться равенство:

При этом R=P₂/P₁ – отношение плотности состояний в верхней долине кплотности состояний в нижней долине определяется соотношением эффективных масси количеством долин. Для арсенида галлия R составляетоколо 60. Соответственно:

Из принципа детального равновесия, т.е. условияравенства скоростей перехода, должно выполняться:

Что и дает соотношение между временами миждолинногоперехода.

Рассмотрение баланса импульса следует проводить впредположении, что после перехода из долины в долину средний импульс перешедшихэлектронов равен нулю, и они должны будут набирать характерный импульс m_iV_i.

Тогда в нижней долине баланс импульса запишетсяв виде:

В данной формуле t_m1 –среднее время релаксации по импульсу в нижней долине. Отсюда для соотношениямежду скоростью и полем, т.е. подвижностью в нижней долине можно получить такоесоотношение:

Таким образом получается, что подвижностьзависит от интенсивности междолинных переходов. Аналогично для верхней долиныможно записать