Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени (стр. 3 из 9)

Теперь найдем непрерывное преобразование Фурье

, это свертка спектра сигнала и преобразования Фурье функции отсчетов по времени с интервалом Т секунд :

То есть свертка

с преобразованием Фурье функции отсчетов просто периодически продолжает с частотным интервалом 1/T Гц, соответствующим частотному интервалу между импульсными функциями. В общем случае отсчеты в одной области (например, временной) приводят к периодическому продолжению в области преобразования (например, частотной). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой, так что , то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними (эффект наложения в частотной области). Частота отсчетов получила название частоты отсчетов Найквиста.

Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, то есть осуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этими отсчетами, можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот, обладающий прямоугольной частотной характеристикой (взвешивание в частотной области ), используя теоремы о свертке во временной и частотной областях, получим :

Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремы отсчетов во временной области, которая утверждает, что с помощью этой интерполяционной формулы действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному счетному числу известных временных отсчетов, взятых с частотой

. Аналогичный результат может быть получен и для комплексных сигналов с ограниченным спектром.

Дуальной к теореме отсчетов во временной области является следующая
Теорема. Для ограниченного временем

по длительности сигнала верно, что

где

Таким образом, преобразование Фурье

некоторого сигнала с ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено по эквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервал отсчетов по частоте удовлетворяет условию герц.

Пусть дан произвольный непрерывный сигнал

и его преобразование , которые в общем случае могут быть неограниченными по спектру и по длительности. Если положить, что N отсчетов во времени взяты с равномерным интервалом T секунд, то ограничим спектр этого сигнала частотами герц взвешиванием в частотной области: , здесь - функция окна в частотной области. При этом сигнал трансформируется следующим образом . Далее берутся отсчеты во временной области сформированного первой операцией и ограниченного по спектру сигнала , соответствующие изменения в спектре можно представить как . Теперь ограничимся длительностью сигнала NT : . И снова свертка в частотной области для спектра полученного на этапе 2 . Последнее что осталось сделать - взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/NT герц, это приводит к периодическому продолжению исходных N временных отсчетов. Сигнал на последнем этапе принимает следующий вид : , а его преобразование : .

Окончательно можно получить, что если исходный сигнал

и - его преобразование, то на четвертом шаге и связаны следующими соотношениями :

, где

Последние соотношения называют дискретно-временными рядами Фурье. Исходя из процесса построения дискретно-временных рядов Фурье, можно установить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временной последовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией или между рядом Фурье преобразования и исходной функции преобразования. Если ширина спектра ограничена частотой 1/T герц, то ряд Фурье временной последовательности будет сохранять исходные значения в отсчетных точках, однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоять из отсчетов некоторого «размытого» варианта исходного преобразования . С другой стороны, если длительность фактически ограничена интервалом NT секунд, то ряд Фурье последовательности преобразований сохраняет исходные значения в отсчетных точках, однако ряд Фурье временной последовательности будет состоять из некоторого «размытого» варианта исходного сигнала . Эффекты размытия можно ослабить за счет уменьшения T (так что 1/T будет соответствовать более широкой полосе) или увеличения N (так что NT будет соответствовать большей длительности), в результате чего дискретно-временной рад Фурье будет точнее аппроксимировать непрерывное преобразование. Ряд будет идентичным непрерывному преобразованию только в случае периодических сигналов, которые можно представить в виде суммы из комплексных синусоид с частотами k/NT герц, где k=0,1,...N-1.

1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов.

Определение: Дискретный случайный процесс

эргодичен в среднем если

Определение: Дискретный случайный процесс

автокорреляционно эргодичен если

Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времени определения для среднего значения и автокорреляции, но позволяет дать подобное определение спектральной плотности мощности :

Определение:

Эта эквивалентная форма спектральной плотности мощности получается посредством статистического усреднения модуля дискретно-временного преобразования Фурье взвешенной совокупности данных, для случая когда число отсчетов данных увеличивается до бесконечности. Статистическое усреднение необходимо здесь потому, что дискретно-временное преобразование само является случайной величиной, изменяющейся для каждой используемой реализации

. Это определение эквивалентно определению спектральной плотности мощности как дискретно-временное преобразование Фурье автокорреляционной последовательности.