Автокорреляционная последовательность на практике может быть оценена по конечной записи данных следующим образом (несмещенная оценка):
, гдеили смещенной оценкой автокорреляции, которая имеет меньшую, по сравнению с несмещенной оценкой, дисперсию:
, гдеКоррелограммный метод заключается в подстановке в определение спектральной плотности мощности оценку автокорреляционной последовательности (коррелограммы). Таким образом, имея две оценки автокорреляционной последовательности получаем две оценки спектральной плотности мощности:
, , где, где - ядро Дирихле
Эффект неявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке истинной спектральной плотности с преобразованием Фурье дискретно-временного прямоугольного или треугольного (как в случае со смещенными оценками) окна. Для уменьшения этого эффекта используется корреляционное окно
и коррелограммная оценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит следующим образом:Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.3.5. Область применения.
Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении о стационарности. Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье. Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна. Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разделе.
1.4. Авторегрессионное спектральное оценивание.
1.4.1. Введение
Одна из причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построения на их основе методов получения оценок спектральной плотности мощности обусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение. Далее рассматриваются следующие методы: метод Юла-Уалкера оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок автокорреляционной функции, метод Берга оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения, метод раздельной минимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад - ковариационный метод, метод совместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейного предсказания - модифицированный ковариационный.
Модель временного ряда (называемая модели авторегрессии-скользящего среднего в случае входной последовательности - белого шума), которая пригодна для аппроксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов с дискретным временем, описывается следующим разностным уравнением:
Системная функция
, связывающая вход и выход этого фильтра имеет рациональную форму:Если в качестве входной последовательности использовать белый шум, то приходим к АРСС-модели. Спектральную плотность для АРСС-модели получаем, подставляя
, что дает , где , , а - дисперсиявозбуждающего белого шума
В частных случаях для авторегрессионной модели и модели скользящего среднего получаем соответственно :
1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера.
Из соотношения, связывающего параметры АРСС-модели с порядком авторегрессии p и скользящего среднего q:
Поскольку полагается, что u[k] - белый шум, то
,
, m>q
, m<0
В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем :
,
, m=0
, m<0
В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом :
Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для
, то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного соотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера), где автокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравнений Юла-Уалкера, в которые вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результаты экспериментов с этим, первым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого класса приведены в соответствующем разделе.
1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.
Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядка p-1 выражением :
, где n=1,2,..p-1Коэффициент отражения
определяется по известным значениям автокорреляционной функции :
, где
Из всех величин только
непосредственно зависит от автокорреляционной функции. В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки коэффициента отражения, рассмотрим некоторые из них.1.4.3.1. Геометрический алгоритм.
Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:
Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей порядков p и p-1, определяются простой подстановкой и в рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров: