Дискретизация и квантование изображений (стр. 11 из 16)
g ( j, k )
, (4.40)Формула (4.40) подсказывает, что задача восстановления изображений сводится к решению системы линейных уравнений. Это действительно так, и для подтверждения можно представить соотношение (4.40) в виде произведения матрицы на вектор. Поэтому значение цифровых методов обработки сигналов, таких, как линейная фильтрация и БПФ, состоит .в том, что они являются средством для быстрого нахождения точного или приближенного решения очень больших (с N2 переменными) систем линейных уравнений. Такой .подход очень важен для развития более совершенных методов повышения резкости изображений, но обсуждение его требует применения теории матриц в объеме, чрезмерно большом для данной книги. Подробнее связь между матричными представлениями и восстановлением изображений методом дискретного преобразования Фурье описана в работах [2, 39, 40].
4.4.2. Основные методы повышения резкости изображений
Операция дискретной свертки, фигурирующая в формуле (4.40), имеет аналог в пространстве дискретного преобразования Фурье (ДПФ). ДПФ соотношения (4.40) имеет вид
G ( u, v ) = H ( u, v ) F ( u, v ) + N ( u, v ) , (4.41)
где и, v = 0, 1, ..., N—1, а прописные буквы обозначают ДПФ величин, обозначенных в формуле (4.40) соответствующими строчными буквами. Так, функция
H ( u, v ) =
, (4.42)представляет собой , ДПФ от дискретизованной аппаратной функции; аналогичные соотношения имеются для G, F и N. Обычно область ненулевых значений аппаратной функции по величине гораздо меньше, чем размеры исправляемого снимка. Следовательно, N гораздо больше числа ненулевых отсчетов функции h ( j, k ) и перед преобразованием эта функция должна быть дополнена соответствующим числом нулей (необходим также надлежащий сдвиг по фазе). Как следует из теории, величину N следует выбирать достаточно большой, чтобы устранить нежелательные эффекты заворота изображения, связанные с периодичностью круговой свертки. На практике оказывается, что эти эффекты не очень существенны. Действительно, снимаемая сцена бесконечно велика по сравнению с размерами аппаратной функции и на краях кадра искаженное изображение содержит вклад объектов, расположенных вне кадра, но вносящих в кадр помехи за счет свертки с аппаратной функцией. Краевые эффекты, возникающие в процессе инверсной фильтрации изображения на основе неполной информации (о предметах, находящихся за кадром), более важны, чем завороты. Бэкстер [18] показал, как можно частично исправить эти краевые искажения. При выборе N более важно предусмотреть возможность уменьшения заворотов и эффектов усечения, связанных не с самой аппаратной функцией h( j, k ), а с функцией, обратной к ней.
Простейшим способом повышения резкости изображения является обработка записи в пространственно-частотной области с помощью обратного фильтра. При этом получается оценка .восстановленного изображения
( u, v ) = Hi ( u, v ) G ( u, v ) = 
, (4.43)Хотя это самый простой подход, при его использовании встречаются наибольшие трудности.
1. Для многих видов искажений аппаратная функция такова,. что ее ДПФ имеет нули. Например, для искажений, вызванных движением съемочной камеры в горизонтальном направлении, ДПФ аппаратной функции имеет вид
H ( u, v) =
, (4.44)где а - размер размытия, выражаемый числом отсчетов. Если искажения сильные (а достаточно велико), так что нули функции (4.44) попадают в найквистовский диапазон, то обратный фильтр является сингулярным. Аналогичная трудность возникает в случае 'искажений, вызванных расфокусировкой камеры, когда запись содержит свертку истинного изображения с формой апертуры. Для большинства стандартных форм апертуры (круглой, квадратной и т.д.) соответствующие ДПФ имеют нули; если эти нули попадают в найквистовский диапазон, то обратный фильтр оказывается сингулярным. К сожалению, обычно так и бывает.
2. Столь же неприятно то, что аппаратные функции (даже если они не приводят сингулярности) обычно являются плохо обусловленными, в частности, модуль их преобразования быстро уменьшается вблизи некоторых значений и и v (обычно в области высоких частот, поскольку искажения связаны с медленными процессами), поэтому обратный фильтр 1/H резко увеличивает влияние шумовой составляющей, входящей в формулу (4.41), что ухудшает изображение.
Несмотря на все трудности, обратные фильтры удается приманить для восстановления изображений. На рис. 4.12 приведено цифровое изображение размером 512
512 точек, в которое с помощью ЭВМ были внесены искажения, эквивалентные свертке изображения с гауссовской аппаратной функцией. К искаженному снимку был прибавлен шум и отношение сигнал/шум (С/Ш). измеряемое как отношение дисперсий сигнала и шума, стало равным 12000 (33 дБ). Аппаратная функция не содержит нулей, а отношение С/Ш велико, поэтому восстановление методом обратной фильтрации возможно. На рис. 4.13, а приведен результат обработки снимка рис. 4.12 обратным фильтром, реализованным с помощью БПФ. Однако если С/Ш уменьшается за счет роста мощности шума, то восстановление путем обратной фильтрации дает плохие результаты. На рис. 4.13,6 приведено изображение, восстановленное обратной фильтрацией при С/Ш = 200 (23 дБ). Размытое изображение при таком уровне шума выглядит так же, как снимок рис. 4.12, поскольку влияние шума трудно определить визуально, если отношение С/Ш превышает 20 дБ. Шум был прибавлен в области плотностей, связанных с яркостями по логарифмическому закону; изображение искажалось в яростной области, но восстанавливалось в области .плотностей так, как описано в разд. 4.4.4.Рис. 4.12 и 4.13 иллюстрируют важную мысль: обратный фильтр может работать, но для этого требуется очень большое отношение сигнал/шум и малая степень искажений. К сожалению, нет определенных правил, которыми следует руководствоваться при восстановлении изображений. Но, с другой стороны, обратная фильтрация осуществляется настолько просто, что ее можно проводить, не имея заранее гарантий на успех, и это не приведет к большим затратам, если окажется, что шум или сингулярность воспрепятствуют ее выполнению.
Влиянию помех и сингулярностей менее подвержен другой метод восстановления изображений — винеровская фильтрация. Как следует из названия, такая фильтрация основана на теории оптимальных оценок, предложенной Норбертом Винером. При проектировании фильтра ставится задача найти такую линейную оценку
( j, k ) = L [g ( j, k ) ] ,(где L—линейный оператор), что
E { [ f ( j, k) -
] 2 } ,имеет минимальную величину. Структуры устройства для получения оценок была найдена многими исследователями. Применительно к обработке изображений первым в явном виде это сделал Хелстром [41] , разработавший пространственный и частотный варианты устройства. При цифровой обработке изображений используется вариант с обработкой bчастотной области. Цифровая фильтрация изображений выполняется фильтром с передаточной функцией
Hw( u, v ) =
, (4.45)и
(4.46)причем звездочка означает комплексное сопряжение, а Фn и Фf- энергетические спектры шума и сигнала соответственно. Как и при обратной фильтрации, обработка производится на основе двумерных БПФ и обратное преобразование от (4.46) дает исправленное изображение.
Анализируя соотношение (4.45), можно заметить следующие свойства винеровского фильтра:
1. Если шум очень мал или отсутствует, так что Фn 
0, то винеровский фильтр переходит в обратный. Таким образом, в пространственно - частотных областях с малым уровнем шума (как правило, это области низких пространственных частот) характеристики винеровского и обратного фильтров совпадают.
2. Если мощность сигнала становится малой, так что Фf 0, то коэффициент передачи винеровского фильтра стремится к нулю. Этим решаются проблемы, связанные с сингулярностью аппаратной функции и с особенностями плохо обусловленных систем уравнений при отсутствии сингулярности.
На рис. 4.14, а и 4.14,6 приведены результаты восстановления изображения, полученные с помощью винеровского фильтра при таких же условиях, как на рис. 4.13, а и б. Снимки рис. 4.14, а и рис. 4.13, а похожи, что указывает на эквивалентность винеровского и обратного фильтров при малом уровне шума. Однако по качеству рис. 4.14,6 íaмнîãî превосходит рис. 4.13,6; это свидетельствует о том, что винеровский фильтр лучше подавляет шумы в областях с малым сигналом. Полосы на краях рис. 4.13 и 4.14 вызваны краевыми эффектами свертки, рассмотренными ранее, и заворотами, связанными с аппаратной функцией обратного фильтра..