Дискретизация и квантование изображений (стр. 14 из 16)
Рассмотрим, например, одномерные искажения по горизонтальной оси, когда искажения минимальны в левой части снимка и линейно увеличиваются до максимума в правой части. Если изображение дискретизовать по равномерной сетке, то отсчет, взятый в правой части, будет содержать вклады от большего числа соседних точек, чем отсчет в левой части снимка. Один из «способов устранения этого недостатка состоит в увеличении интервала
Рис. 4.17. Структурная схема процесса восстановления изображения с пространственно-зависимыми искажениями.
между отсчетами при движении слева направо так, чтобы каждый отсчет содержал взвешенную сумму яркостей одинакового числа соседних точек. Фактически это является преобразованием координат, делающим искажения пространственно-инвариантными. После коррекции исходное изображение восстанавливается с помощью преобразования координат, обратного к первому.
Савчук [46] показал, что этот общий метод можно применять для нескольких видов искажений, вызванных оптическими аберрациями или неравномерным сдвигом во время съемки. Обобщенная схема процесса коррекции показана на рис. 4.17. Пространственно-нестационарные искажения представляются в виде двух геометрических искажений. Сначала снимок переводится в координаты, где искажения оказываются пространственно-инвариантными, а затем осуществляется переход от пространственно-инвариантных координат к координатам, зависящим от положения деталей изображения. Система для восстановления изображения основывается на преобразованиях, обратных к этим двум, и фактическое восстановление выполняется путем линейной обработки в пространстве, где искажения являются пространственно-инвариантными. При этом для быстрой обработки больших изображений можно применять свертку и БПФ, а сами операции преобразования координат требуют малого или приемлемого числа вычислений. Подобная обработка успешно применялась для исправления аберраций типа комы [47] и искажений, вызванных пространственно-неравномерным сдвигом [46].
Атмосферная турбулентность обусловливает смазывания изображений, изменяющиеся с течением времени, поскольку температурные градиенты в воздушных слоях влияют на случайные фазовые задержки bволновых фронтах потоков света, несущих изображение. В силу усреднения за время экспозиции эти флуктуации создают искажения изображений, аппаратная функция которых приближается к гауссовской и стационарна. В ряде случаев делались попытки повышения резкости таких изображений [48]. Но, как правило, искажения оказывались достаточно сильными, и восстановление изображений было малоэффективньм. Недавно Нокс предложил новый метод коррекции атмосферных искажений изображения [49].
В любой момент времени изображение, проходящее сквозь турбулентную атмосферу, формируется под воздействием случайной аппаратной функции. При наблюдении за одним и тем же объектом можно получить набор снимков, описываемых соотношениями типа
(4.57)в которых аппаратная функция искажений рассматривается как пространственно-инвариантная, но изменяющаяся во времени от момента к моменту (т.е. по переменной i). Усредняя снимки (4.57) по времени, получаем
(4.58)причем сложение hi со случайными фазами создает столь широкую усредненную аппаратную функцию, что большая часть высокочастотных составляющих f(x у) теряется.
Если же перед усреднением изображения подвергнуть преобразованию Фурье и возвести спектры в квадрат, то получается другой результат. В этом случае
(4.59)где звездочка означает комплексное сопряжение. Возведение в квадрат «защищает» высокочастотную информацию, уничтожающуюся при усреднении фаз в равенстве (4.58). Если в наблюдаемом секторе находится точечный источник, то можно найти среднюю квадратическую аппаратурную функцию <HiHi*> и выполнить восстановление изображения. Однако в формуле (4.59) теряется фазовая информация, и восстановленное изображение равно обратному преобразованию от квадратного корня из энергетического спектра исходного изображения f(x, у).
Другой, но весьма близкий способ обработки состоит в вычислении статистической автокорреляционной функции спектра изображения:
(4.60)Можно заметить, что при u1=v1=0 равенства (4.60) и (4.59) полностью совпадают. Если, как и прежде, имеется точечный источник, то
(4.61)
поскольку с помощью точечного источника можно найти комплексную автокорреляционную функцию усредненного по времени спектра аппаратной функции. Рассмотрим результат деления обеих частей равенства (4.61) на их модули: 
(4.62)где Ф — фазовая характеристика спектра F - изображения, рассматриваемая на двумерной плоскости фурье - преобразования. В правой части записано двумерное разностное уравнение относительно фазовой характеристики, а слева фигурируют только измеренные величины. Интегрирование этого разностного уравнения по всей плоскости преобразования Фурье даст фазовую характеристику, а в сочетании с модулем F, полученным из равенства (4.61), —спектр восстановленного изображения.
Моделирование метода Нокса — Томпсона показало, что он может значительно улучшить разрушение при наблюдениях сквозь турбулентную атмосферу. На рис. 4.18 этот процесс иллюстрируется с помощью изображения астероида, полученного моделированием на ЭВМ. На рис. 4.18, а приведен оригинал, на рис. 4.18,6 показаны четыре отдельных снимка с атмосферными искажениями, а на рис. 4.18, б—восстановленное изображение, причем фазовая информация была получена в соответствии с формулой (4.62) путем обработки 100 снимков, подобных приведенным на рис. 4.18,6.
4.5. Воспроизведение изображений по проекциям
Открытие проникающей радиации (рентгеновских лучей, нейтронных пучков и т.д.) дало возможность получать изображения объектов, ранее недоступных или доступных только с помощью грубых и зачастую нежелательных средств; примером такого объекта могут служить внутренние участки мозга. Подобные изображения имеют очень важное значение для развития медицины. Усиление контроля за качеством элементов больших конструкций обусловило важность таких изображений для неразрушающих методов контроля. Однако изображения, полученные путем просвечивания с помощью проникающего излучения, имеют недостаток: они являются двумерными теневыми проекциями трехмерных объектов. Важные особенности пространственного расположения внутренних частей объекта в процессе проектирования в лучшем случае искажаются, а в худшем — теряются вообще. При хирургических операциях (например, при опухолях мозга) незнание внутренней структуры может оказаться, очевидно, роковым обстоятельством.
Задаче воспроизведения внутренней структуры объекта по его проекциям в последнее время уделяется большое внимание, и методы цифровой обработки сигналов оказали заметное влияние на ее решение. Предложен ряд методов воспроизведения изображения по проекциям; список литературы по этому вопросу дан в статье Мерсеро и Оппенгейма [50]. Ниже будет рассмотрена задача воспроизведения изображения по проекциям и дано ее решение методом, характерным для цифровой обработки сигналов, а именно, с помощью преобразования Фурье.
4.5.1. Образование проекций
Изображения, получаемые с помощью проникающей радиации, образуются за счет ослабления луча в исследуемом веществе. Чем плотнее вещество, тем слабее интенсивность луча, прошедшего через вещество. Таким образом, изображение, наблюдаемое в проходящих лучах, определяется интегральным влиянием некоторой характеристики вещества объекта на интенсивность луча. Пусть f(x1, x2,x3) описывает распределение вещества в пространственных координатах (х1, х2, x3). Допустим, что просвечивающий луч направлен вдоль оси х1, как на рис. 4.19. Тогда распределение интенсивности проникающего излучения в плоскости (x2, x3) пропорционально функции g, определяемой соотношением
(4.63)
Важное свойство проекций, задаваемых формулами типа (4.63), можно заметить при анализе преобразования Фурье от функции g (x2,x3):
(4.64)Трехмерное преобразование Фурье от исходного распределения имеет вид
(4.65)
Сравнивая G и F, видим, что
(4.66)Таким образом, преобразование от проекции равно преобразованию Фурье от распределения вещества в объекте при w1=0. Такую функцию называют сечением преобразования Фурье,
