Дискретизация и квантование изображений (стр. 15 из 16)

Рис. 4.19. Геометрические соотношения при воспроизведении изображения по проекциям.

12

поскольку она образуется сечением исходного трехмерного преобразования вдоль двумерной плоскости.

Очевидно, что аналогичными свойствами обладают также проекции меньших размерностей. Предположим, что проникающее излучение направлено в виде плоского луча (т.е. луч имеет бесконечно малый размер вдоль оси x₃ и перпендикулярен ей, причем вдоль оси x₂ его интенсивность одинакова, а ширина больше размеров объекта). Луч с координатой x₃ будет проектировать все элементы внутреннего строения объекта, лежащего в сечении, совпадающем с плоскостью луча. Еслираспределение вещества в сечении с координатой x₃ описывается функцией f₃( x₁ , x₂ ), то одномерная проекция двумерного сечения имеет вид

(4.67)

и соотношение

(4.68)

как и прежде, описывает связь между преобразованиями проекции и оригинала.

Предположим теперь, что плоский луч проникающего излучения остается перпендикулярным оси x₃, а источник излучения вращается вокруг некоторого центра, находящегося в объекте, так что угол между направлением луча и осью x₁ равен не нулю, а некоторой величине

(см. рис. 4.20). Очевидно, можно сделать преобразование координат так, чтобы ось и₁ была параллельна направлению проектирующего луча. Это преобразование имеет вид

Равенства (4.67) и (4.68) остаются справедливыми и в новой системе координат (u₁, u₂), что позволяет сформулировать следующую теорему о проекции и сечении, одномерное преобразование Фурье от проекции под углом

равно преобразованию Фурье исходного двумерного распределения вещества в двумерной плоскости спектральных переменных вдоль линии, направленной под углом , т.е. является сечением спектра под углом .

С помощью этой теоремы на основе проекций трехмерного тела можно воспроизвести изображение внутренней структуры тела. Если источник плоского луча расположить в точке с координатой х₃, как показано на рис. 4.20, и изменять угол

в интервале 0< < , то, как показано в следующем разделе, из набора одномерных проекций можно воспроизвести структуру тела в сечении с координатой x₃. Затем координата х₃изменяется и тем же

Рис. 4.20. Геометрические соотношения при вращении источника вокруг точки, зафиксированной в объекте, и схема получения двумерных проекций.

способом получается новое сечение. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен полный набор сечений, показывающих внутреннюю структуру объекта в трех измерениях.

Теоретически, конечно, можно воспроизвести структуру трехмерного объекта по его двумерным проекциям без использования вспомогательных одномерных проекций и связанных с ними сечений, как описано в предыдущем абзаце. На практике, однако, выгоднее пользоваться методом плоских сечений, хотя и связанным с повторением одинаковых операций, но зато не требующих такого огромного числа вычислений, как прямое воспроизведение трехмерной структуры. Поэтому задачу воспроизведения будем в основном рассматривать как задачу выделения двумерной информации из одномерных проекций. Ниже описываются методы цифровой обработки сигналов, позволяющие воспроизвести изображение.

4.5.2. Методы воспроизведения изображений

Основная операция при воспроизведении изображения по проекциям следует из теоремы о проекции и сечении. Преобразование Фурье от проекции дает значения преобразования Фурье от исходного распределения вещества в некотором его сечении. Если получить достаточно плотный набор таких сечений, то все пространство спектров будет заполнено сечениями и с помощью обратного преобразования Фурье можно завершить процесс воспроизведения изображения.

Рис. 4.21. Отсчеты в пространстве преобразований Фурье, полученные из набора проекций.

Каждая точка представляет значение F(w₁,w₂), полученное вычислением ДПФ проекции g(u) под углом

.

Эта операция достаточно просто описывается, но для фактического ее выполнения необходимы весьма сложные и трудоемкие исследования. При воспроизведении изображения на основе сечений спектра важными являются следующие положения:

1. При вращении источника плоского луча для каждого из углов

получается своя проекция. Число проекций, необходимых для достаточно полного заполнения пространства преобразований Фурье, очевидно, зависит от формы преобразования Фурье воспроизводимого распределения. Однако чем меньше шаг по углу, тем плотнее заполняется пространство спектров (см. рис. 4.21). На практике число проекций ограничивается двумя факторами: 1) увеличением объема вычислений, связанным с обработкой дополнительных проекций; 2) увеличением дозы облучения при получении дополнительных проекций (что очень важно в медицинских приложениях метода).

2. Сечения спектрального пространства образуют равномерную сетку в той системе координат, где на одной из осей откладывается угол поворота

. Однако размещение отсчетов спектра в каждом из сечений не согласуется с обычными двумерными преобразованиями. Двумерное ДПФ вычисляется на прямоугольной сетке отсчетов, образующих строки и столбцы, а точки, в которых известны ДПФ сечений, образуют полярный растр, показанный на рис. 4.21. Поэтому необходимо с помощью интерполяции перейти к прямоугольному растру, что несложно с точки зрения теории, но нетривиально на практике, поскольку каждый отсчет, находящийся на концентрической полярной сетке, перед интерполяцией необходимо перевести в соответствующую прямоугольную систему координат. Такое преобразование двумерных координат и интерполяцию можно несколько упростить, пользуясь методом так называемого копцентрично - прямоугольного растра, но зато при этом интервалы дискретизации будут не одинаковыми [50].

3. Как видно из рис. 4.21, двумерное пространство преобразований Фурье очень плотно заполняется в области низких частот, а высокие частоты представлены гораздо реже. Поэтому для воспроизведения крупноструктурных элементов, описываемых низкочастотным спектром, требуется небольшое число проекций, например 20—30. Для достаточно четкого представления высокочастотных составляющих необходимо большое число проекций (100 и более). Если число проекций ограничено, то можно воспользоваться имеющимися проекциями и более плотно заполнить пространство спектров путем интерполяции. Это несколько улучшает результаты воспроизведения, но возможности данного метода ограничены, поскольку результаты интерполяции могут не соответствовать реальным значениям спектров. Качество и детали изображения определяются именно теми спектральными составляющими, которые нельзя предсказать путем интерполяции.

Другой метод воспроизведения изображений, в котором применяется цифровая обработка сигналов, называется методом свертки или «размазывания». Для пояснения метода рассмотрим две взаимно перпендикулярные проекции. Если каждую из проекций «размазать» (т.е. образовать двумерную функцию, не изменяющуюся по одной оси и совпадающую с исходной одномерной проекцией по второй оси) и значения обеих функций сложить как ортогональные векторы, то получится очень грубая аппроксимация исходного объекта. Читатель может проверить это, взяв для примера квадрат и построив проекции в направлениях, перпендикулярных его сторонам. В общем представляется возможным получить изображение «размазывая» проекции (это можно сделать путем свертки с подходящей функцией) и образуя сумму после соответствующего взвешивания отдельных слагаемых. Такой метод можно реализовать с помощью цифровой обработки, а также оптическими средствами. Однако данный метод крайне чувствителен к помехам, поскольку операции свертки и взвешивания влияют на обрабатываемые сигналы примерно так же, как дифференцирование.

Как образец результатов, получаемых при воспроизведении изображений цифровыми методами, на рис. 4.22 показано сечение человеческого мозга, полученное с помощью серийного рентгеновского аппарата для воспроизведения изображений внутреннего строения головы.

Этот краткий обзор не исчерпывает всех вопросов, связанных с воспроизведением изображений на основе проекций. С другими методами можно познакомиться по работам, указанным в списке литературы, составленном Мерсеро и Оппенгеймом [50].

4.6. Повышение качества изображений

Цель процесса повышения качества изображения состоит в том, чтобы снимок «выглядел лучше». Неудивительно поэтому, что если цель намечена так туманно, то и методы, применяемые для повышения качества изображений, оказываются весьма разнообразными. Субъективные суждения о том, что изображение «выглядит лучше», связаны также с критериями, зависящими от предназначения изображения (изображение должно «выглядеть лучше» применительно к определенной задаче). Если использование изображения связано с точным анализом или количественными измерениями, то радикальные операции, приводящие к значительному изменению пространственных или яркостных соотношений в изображении, могут оказаться неприемлемыми. С другой стороны если изображение применяется только для субъективных целей, то допустимы операции, существенно изменяющие пространственные или яркостные соотношения или же и те и другие, но в целом улучшающие субъективное восприятие изображения. Следовательно, для повышения качества изображения можно применять широкий круг методов; пригодность каждого из них зависит от целей повышения качества данного изображения.