Цифровая обработка сигналов (стр. 4 из 11)
Комплекс передаточной функции: H(jw) = a0 + a1e-jwT.
с учетом нормирования по частоте: wT = 2pЧW.
Поэтому
H(jw) = a0 + a1e-j2pW = a0 + a1 cos 2pW - ja1 sin 2pW .
Формулы АЧХ и ФЧХ
H(W) =
, j(W) = - arctg 
.графики АЧХ и ФЧХ для положительных значений a0 и a1 при условии a0> a1 приведены на рис.(2.5,а,б.)
Логарифмический масштаб АЧХ - ослабление А:
; 
. (2.10)Нули передаточной функции могут распологаться в любой точке плоскости Z. Если нули расположены в пределах единичного круга, то характеристики АЧХ и ФЧХ такой цепи связаны преобразованием Гильберта и однозначно могут быть определены одна через другую. Такая цепь называется цепью минимально-фазового типа. Если хотябы один нуль появляется за пределами единичного круга, то цепь относится к цепи нелинейно-фазового типа, для которого преобразование Гильберта неприменимо.
2.5 Импульсная характеристика. Свертка.
Передаточная функция характеризует цепь в частотной области. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h(nT). Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакцию цепи на дискретную d - функцию. Импульсная харакетеристика и передаточная функция являются системными характеристиками и связаны между собой формулами Z - преобразования. Поэтому импульсную реакцию можно рассматривать как некоторый сигнал, а передаточную функцию H(Z) - Z - изображение этого сигнала.
Передаточная функция является основной характеристикой при проектировании, если нормы заданы относитеольно частотных характеритик системы. Соответственно, основной характеристикой является импульсная характеристика, если нормы заданы во временной обрасти.
Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме как реакцию цепи на d - функцию, или решением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = d (t).
Пример. Определить импульсную реакцию цепи, схема которой приведена на рис.2.6,б.
Решение.
Разностное уравнение цепи y(nT)=0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).
Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что x(nT)=d(t)
n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0;
n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4;
n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = -0,032;
n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) - 0,08 y(2T) = 0,00256; ит.д. ...
Отсюда h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Для устойчивой цепи отсчеты импульсной реакции с течением времени стремятся к нулю.
Импульсную характеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя
а. обратное Z-преобразование,
б. теорему разложения,
в. теорему запаздывания к результатам деления полинома числителя на полином знаменателя.
Последний из перечисленных способов относится к численным методам решения поставленной задачи.
Пример. Определить импульсную характеристику цепи на рис.(2.6,б) по передаточной функции.
Решение.
Здесь H(Z) =
.Разделим числитель на знаменатель
Применяя к результату деления теорему запаздывания, получаем
h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Сравнивая результат с расчетами по разностному уравнению в предидущем примере, можно убедиться в достоверности расчетных процедур.
Предлагается определить самостоятельно импульсную реакцию цепи на рис.(2.6,а), применяя последовательно оба рассмотренных метода.
В соответствии с определением передаточной функции, Z - изображение сигнала на выходе цепи можно определите как произведение Z - изображения сигнала на входе цепи и передаточной функции цепи:
Y(Z) = X(Z)ЧH(Z). (2.11)
Отсюда, по теореме о свертке, свертка входного сигнала с импульсной характеристикой дает сигнал на выходе цепи
y(nT) =
x(kT)Чh(nT - kT) = 
h(kT)Чx(nT - kT). (2.12)Определение выходного сигнала по формуле свертки находит применение не только в расчетных процедурах, но и в качестве алгоритма функционирования технических систем.
Пример.
Определить сигнал на выходе цепи, схема которой приведена на рис.(2.6,б), если x(nT) = {1,0; 0,5}.
Решение.
Здесь h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0,00256 ; ...}
Расчёт по (2.12)
n=0 : y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;
n=1 : y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0,4;
n=2 : y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) = 0,168;
Таким образом y(nT) = { 0; 0,4; 0,168; ... }.
В технических системах вместо линейной свертки (2.12) чаще применяется круговая или циклическая свертка .
2.6 Круговая свёртка .
Реальным сигналам соответствуют числовые последовательности конечной длины. Конечную числовую последовательность можно продолжить по оси времени путём периодического повторения и получить периодическую числовую последовательность. Периодической числовой последовательности соответствует спектр в виде периодической числовой последовательности. Обе последовательности имеют одинаковый период N и связаны формулами ДПФ.
Замена реальных последовательностей периодическими позволяет повысить эффективность использования вычислительной техники применительно к дискретным сигналам (скоростная свёртка, БПФ и др. )
Свёртка периодических последовательностей называется круговой и определяется на интервале равном одному периоду.
y(nT) =
x(kT)Чh(nT - kT), (2.13)Линейная и круговая свёртки дают одинаковый результат, если соответствующим образом выбрать в круговой свёртке размер исходных последовательностей. Дело в том, что свёртка конечных последовательностей приводит к последовательности, размер которой N превышает длину каждой из исходных последовательностей и, по определению, равен
N = N1 + N2 - 1, (2.14)
где N1 - длина последовательности x(nT),
N2 - длина последовательности h(nT).
Поэтому замена исходной последовательности на периодическую выполняется с таким расчётом, чтобы длина периода получилась равной N, добавляя с этой целью нули в качестве недостающих элементов.
Пример.
Вычислить круговую свёртку по данным примера в параграфе 2.4.
Решение.
Здесь, пренебрегая малыми значениями отсчётов представим импульсную реакцию в виде конечной числовой последовательности h(nT) ={0; 0,4 ; -0,032}.
Отсюда, поскольку x(nT) = {1,0; 0,5}, с учётом (2.14)
N1 = 2,N2 = 3,N = 4.
Следовательно исходные числовые последовательности запишутся так
x(nT) = {1,0; 0,5; 0; 0}, h(nT) ={0; 0,4; -0,032; 0}.
Отсюда, применяя (2.13), получаем
n=0: y(0T) = x(0T)h(0T) + x(1T)h(-1T) + x(2T)h(-2T) + x(3T)h(-3T) = 0;
n=1: y(1T) = x(0T)h(1T) + x(1T)h(0T) + x(2T)h(-1T) + x(3T)h(-2T) = 0,4;
n=2: y(0T) = x(0T)h(2T) + x(1T)h(1T) + x(2T)h(0T) + x(3T)h(-1T) = 0,168;
n=3: y(0T) = x(0T)h(3T) + x(1T)h(2T) + x(2T)h(1T) + x(3T)h(0T) = -0,016;
Следовательно y(nT)= {0; 0,4; 0,168; -0,016}, что совпадает с расчётами по линейной свёртке в примере параграфа 2.4.
Графики периодических числовых последовательностей x(nT), h(nT), y(nT) приведены на рис.(2.7).
К периодическим числовым последовательностям, полученным изложенным выше способом, можно применить ДПФ, перемножить результаты и после выполнения обратного ДПФ получить последовательность y(nT), совпадающую с результатами расчётов по круговой свёртке.
2.7. Энергия дискретного сигнала.
Корреляция и энергетический спектр.
В качестве энергии дискретного сигнала принята мера
Wx =
x2(nT), (2.15)соответственно в частотной области, согласно равенству Парсеваля,
Wx =
X2(w)dw = 
X(jw)X*(jw)d(jw), (2.16)где X(jw) = X(w)ejj(w) - спектр сигнала x(nT),
X*(jw) = X(w)e-jj(w) - спектр x(-nT) в соответствии с теоремой о спектре инверсного сигнала,
X2(w) = X(jw)ЧX*(jw) = Sx(jw) - энергетический спектр сигнала x(nT).
На рис.(2.8) показан в качестве примера сигнал x(nT) и его инверсная копия x(-nT) для некоторого частного случая
Энергетический спектр выражает среднюю мощность сигнала x(nT), приходящуюся на узкую полосу частот в окрестности переменной w.
Во временной области энергетическому спектру соответствует свертка инверных сигналов, что определяет корреляционную функцию Sx(nT) сигнала x(nT).
. (2.17)Согласно (2.17) и (2.15) корреляционная функция в точке n = 0 равна энергии сигнала, т. е.
(2.18)Для периодических дискретных сигналов корреляционная функция и энергетический спектр связаны формулами ДПФ