Цифровая обработка сигналов (стр. 6 из 11)
Решение.
Применим метод перекрытия с накоплением.
Пусть L = 1. Отсюда
; 
, поэтому после искусственного удлинения секций: 
.Выравниваем периоды сигналов для применения круговой свёртки:
N = N1 + N2- 1 = 3. Следовательно x0(nT)= {0; 0,4; 0}, x1(nT)= {0,4; 0,8; 0}, x2(nT)= {0,8; 0; 0} После свёртки по каждой секции и отбрасывания
отсчётов получаем: 
отсюдаy(nT)= {0,4; 1,0; 0,4}.
Метод перекрытия с накоплением получил преимущественное распространение, поскольку здесь не требуется проведения дополнительных арифметичкских операций после обработки каждой секции.
3. Цифровые фильтры.
3.1 Цифровая система обработки сигналов.
Обработка дискретных сигналов осуществляется как правило в цифровой форме: каждому отсчёту ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, в результате, действия над отсчётами заменяются на действия над кодовыми словами. Таким образом дискретная цепь становится цифровой цепью, цифровым фильтром (ЦФ). Перевод отсчётов в двоичные кодовые слова происходит в аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На выходе ЦФ (рис.3.1) осуществляется обратная операция: кодовые слова в цифро-аналоговом преобразователе превращаются в отсчёты дискретного сигнала и, наконец, на выходе, синтезирующего фильтра (СФ) формируется обработанный аналоговый сигнал.
Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковыми уравнениями. Отличие состоит в приближённом характере представления отсчётов сигнала кодовыми словами конечной размерности (ошибки квантования). Поэтому сигнал на выходе цифровой цепи отличается от идеального варианта на величину погрешности квантования.
Цифровая техника позволяет получить высокое качество обработки сигналов несмотря на ошибки квантования: ошибки (шумы) квантования можно привести в норму увеличением разрядности кодовых слов. Рациональные способы конструирования цифровой цепи также способствуют минимизации уровня шумов квантования.
Расчёт цифровой цепи по заданным требованиям к её характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи. Эти особенности являются следствием конечной длины импульсного отклика нерекурсивного ЦФ.
Поэтому нерекурсивные фильтры содержат большое число элементов цепи, но вместе с тем имеют целый ряд важных достоинств: нерекурсивные ЦФ всегда устойчивы, позволяют строить фильтры с минимальной линейной фазой, отличаются простой настройкой. С учётом изложенного становятся понятны причины, по которым методы расчёта нерекурсивных ЦФ и рекурсивных цифровых фильтров принято рассматривать отдельно.
3.2 Расчёт нерекурсивных ЦФ общего вида.
Цель расчёта нерекурсивных цифровых фильтров (рис. 3.2,а) заключается в расчёте значений коэффицентов
и их числа N по допускам на системные характеристики, а так же в расчёте разрядности кодовых слов и выборе оптимального динамического диапазона ЦФ по нормам на помехозащищённость сигнала и вероятность перегрузки системы, что определяется эффектами конечной разрядности кодовых слов.Требования к системным характеристикам чаще задаютс относительно одной из них: импульсной или частотной. Поэтому различают расчёт ЦФ во временной области и расчёт ЦФ в частотной области.
Расчёт ЦФ во временной области.
Требуемая импульсная характеристика в общем случае имеет бесконечную протяжённость во времени. Поэтому вначале необходимо задаться конечным числом N первых отсчётов требуемой импульсной характеристики
.Оставшиеся отсчёты по причине их малости отбрасывают и определяют погрешность приближения, которую можно оценить, например, по среднеквадратичному критерию близости.
Коэффициенты фильтра
принимаются равными соответствующим отсчётам требуемой импульсной характеристики. После расчёта разрядности коэффицентов, шумов квантования и масштабирующих коэффицентов остаётся оценить погрешность реализованной импульсной характеристики по отношению к требуемой и принять решение о необходимости повторного расчёта.Расчёт ЦФ в частотной области.
Вначале необходимо продолжить требуемую частотную характеристику на диапазон [0,5wд; wд] по правилам комплексно-сопряжённой симметрии (рис. 3.2,б), что определяется вещественным характером импульсного отклика. По характеристикам следует определить N комплексных частотных отсчётов
,где число N выбирается ориентировачно с таким расчётом, чтобы плавным соединением точек
и 
требуемые кривые восстановились без заметных искажений. 
Расчёт коэффицентов фильтра выполняется по формуле обратного ДПФ
(3.1)Затем необходимо расчитать реализованные частотные характеристики по формулам, которые следуют из выражения для передаточной функции фильтра.
, или 
. (3.2)Остаётся сравнить требуемые и реализованные характеристики и принять решение о необходимости повторного расчёта.
Расчёты по учёту эффектов конечной разности кодовых слов остаются
прежними.
3.3. Схемы и характеристики фильтров с линейной фазой
Нерекурсивный фильтр позволяет получить четную или нечетную импульсную характеристику и, как результат, линейную ФЧХ или произвольной АЧХ, что следует из теоремы о спектре четных и нечетных сигналов: спектр фаз четных и нечетных сигналов является линейным.
Фильтры с четными импульсными характеристиками называются симметричными, с нечетными - антисимметричными. Каждый из отмеченных типов фильтров имеет свои особенности в зависимости от четности числа отводов N, что удобно рассмотреть на конкретных примерах.
Симметричные фильтры с нечетным N.
На рис. 3.3, а приведена схема и импульсная характеристика симметричного фильтра для случая N=5. Передаточная функция такой цепи:
H(Z) = a2 + a1Z-1 + a0Z-2 + a1Z-3 + a2Z-4 = Z-2 [a0 + a1 (Z + Z-1) + a2 (Z2 + Z-2)]
Отсюда, после подстановки Z = e jwT и с учетом формулы Эйлера
H (jw) = e -j2wT (a0 + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT)
следовательно, формулы АЧХ и ФЧХ
H(w) = a0 + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT, j(w) = -2wT
График АЧХ и графики поясняющие характер АЧХ - cos wT, cos 2wT - приведены на рис. 3.4, а.
Симметричные фильтры с четным N.
На рис. 3.3, б приведены схема и импульсная характеристика симметричного фильтра для случая N=4. Передаточнаяфункцияфильтра
H(Z) = a2 + a1Z-1 + a1Z-2 + a2Z-3 = Z-1,5 [a1 (Z0,5 + Z-0,5) + a2 (Z1,5 + Z-1,5)]
Отсюда H (jw) = e -j1,5wT (2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT)
Соответствующие формулы АЧХ и ФЧХ
H(w) = 2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT, j(w) = -1,5wT
Характер АЧХ и поясняющие графики - на рис. 3.4, б.
Антисимметричные фильтры с нечетным N.
На рис. 3.5, а приведены схема и импульсная характеристика антисимметричного фильтра для случая N=5.
Передаточная функция фильтра
H(Z) = a2 + a1Z-1 + 0Z-2 - a1Z-3 - a2Z-4 = Z-2 [a1 (Z - Z-1) + a2 (Z2 - Z-2)]
отсюда H (jw) = e -j2wT j(2a1 sin wT + 2a2 sin2wT)
ПоэтомуформулыАЧХиФЧХ
H(w) = 2a1 sin wT + 2a2 sin 2wT, j(w) =
-2wTХарактер АЧХ и поясняющие графики - на рис. 3.6, f.
Антисимметричные фильтры с четным N.
Схема и импульсная характеристика для случая N=4 приведены на рис. 3.5, б. Передаточная функция
H(Z) = a2 + a1Z-1 - a1Z-2 - a2Z-3 = Z-1,5 [a1 (Z0,5 - Z-0,5) + a2 (Z1,5 - Z-1,5)]
Отсюда
H (jw) = e -j1,5wT j(2a1 sin 0,5 wT + 2a2sin 1,5wT)
ФормулыАЧХиФЧХ
H(w) = 2a1 sin 0,5 wT + 2a2 sin 1,5wT, j(w) =
-1,5wTХарактер АЧХ и поясняющие графики - на рис. 3.6, б.
3.4 Общие свойства фильтров с линейной фазой
Анализ рассмотренных вариантов фильтров с линейной фазой позволяет сделать выводы общего характера.