Цифровая обработка сигналов (стр. 8 из 11)

С учетом вышеизложенного становится понятным, что регулировка частотных отсчетов фильтра по методу частотной выборки является взаимонезависимой подобно взаимонезависимой регулировке отсчетов импульсной характеристики не рекурсивного ЦФ по схеме на Рис. 3.2, а.

Расчет фильтра начинается с ориентировочного выбора величины N. Коэффициенты фильтра приравнивают к соответствующим отсчетам требуемой частотной характеристики. Особый случай имеет место в точках разрыва характеристики: отсчеты, расположенные в окрестности точек разрыва, т.е. в переходной области, необходимо выбирать с таким расчетом, чтобы получить удовлетворительное приближение реализованной характеристики к требуемой в диапазоне частот, прилегающем к переходной области. Наиболее часто в переходную область попадает 1 или 2 отсчетных частоты. В этом случае удовлетворительный результат аппроксимации можно получить простым подбором модуля отсчетов в переходной области.

После проверочного расчета частотных характеристик по формуле 3.10 или 3.13 принимается решение о необходимости повторного расчета.

3.6.3. Схема фильтра с вещественными отводами

Реализация фильтров по схеме на Рис. 3.10, а сопряжена с некоторыми особенностями, обусловленными комплексным характером коэффициентов в отводах. Поэтому на практике получил распространение еще один вариант схемы такого фильтра, отличающийся вещественным характером коэффициентов.

Фильтр с вещественными коэффициентами получается за счет объединения каждой пары отводов с индексами К и (N-K), которая является комплексно-сопряженной по причине комплексно-сопряженной симметрии частотных характеристик фильтра относительно частоты 0,5w_д. В результате

(3.15)

где a_0k = cos j_k, a_1k = -b_k cos (j_k - q_k), b_1k = -2b_k cos q_k, b_2k = b²_k

Схема вещественного отвода, соответствующего (3.15), приведена на Рис. 3.12.

Завершая обсуждение фильтра с частотной выборкой следует отметить еще одно важное качество таких фильтров: в схеме отсутствуют звенья, соответствующие нулевым значениям требуемой АЧХ. В результате, например, схема частотно-селективного фильтра существенно упрощается, сохраняя при этом возможность получения линейной фазы.

3.7. Расчет рекурсивных фильтров. Метод билинейного преобразования.

Методы расчета рекурсивных ЦФ можно разделить на прямые и косвенные. Прямые методы предполагают расчет непосредственно рекурсивного ЦФ, косвенные используют в качестве промежуточного этапа расчет аналогового фильтра (АФ).

К числу косвенных методов относится метод билинейного преобразования, основанный на таком преобразовании частот, при котором частотная ось сжимается до конечных размеров. Формула частотного преобразования

или

где w - реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ,

- расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ, , - соответствующие комплексные частоты.

На рис. 3.13, а приведен график зависимости расчетной частоты от реальной частоты, на Рис. 3.13, б - пример соответствия кривых АЧХ фильтров АФ и ЦФ.

Связь комплексных переменных вспомогательного АФ и реального ЦФ, т.е.

и Z определяется равенством

(3.17)

Формула (3.17) получается подстановкой в (3.16) Z = e^pT. В результате

Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.

1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу

2. Рассчитать передаточную функцию АФ

, применяя методы расчета аналоговых фильтров.

3. Определить передаточную функцию ЦФ H(Z) по известной

4. Построить схему ЦФ по H(Z).

5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.

Пример. Рассчитать рекурсивный ЦФ нижних частот методом билинейного преобразования по следующим исходным данным:

ПП ® [0; 200] Гц, перех. область ® [200; 300] Гц, DА = 3 дБ, А_min = 15 дБ.

Решение

Выбираем f_д = 800 Гц.

Контрольные частоты для перевода норм ЦФ в нормы АФ: 0; 200 Гц; 300 Гц.

Расчетная формула для преобразования частот

В результате

f = 0 ®

®W_н = 0

f = 200 Гц ®

1600 ®W_н = 1

f = 300 Гц ®

3840 ®W_н = 2,4

где W_н =

- нормированная частота ФНЧ,

= 1600 - частота среза ФНЧ.

Основная формула расчета АФ

В данном случае достаточно ограничиться аппроксимирующим полиномом Баттерворта второго порядка. Поэтому, учитывая что Е=1 для DА = 3 дБ, получаем

следовательно

Отсюда полюсы Н(р_н): р_{н 1,2} = -0,707 ± j 0,707,

что соответствует нормированной передаточной функции

Подставляя здесь

,

получаем денормированную передаточную функцию АФ

После подстановки здесь (3.17), получаем передаточную функцию рекурсивного ЦФ

Что соответствует схеме рекурсивного ЦФ, приведенной на Рис. 3.14, а.

Уместно напомнить, что схему цепи по дробной передаточной функции от Z удобно строить в 2 этапа: вначале строится не рекурсивная часть, соответствующая числителю Н(Z), затем каскадно с ней - рекурсивная часть, соответствующая дроби, в числителе которой - единица.

График реализованной АЧХ приведен на рис. 3.14, б.

Нелинейная зависимость частотного преобразования (3.16) определяет как недостатки, так и достоинства метода билинейного преобразования. Недостаток в том, что наклонные участки частотной характеристики изменяют свой наклон тем больше, чем выше частота. Поэтому, например, линейная фаза после преобразования (3.16) становится нелинейной. Достоинство определяется отсутствием ошибок наложения при переходе АФ ® ЦФ, что позволяет получить высокие уровни ослабления в ПН при конструировании частотно-селективных фильтров.

4. Эффекты конечной разрядности и их учет.

4.1. Шум квантования и шумовая модель.

Отсчеты сигнала на входе цифровой системы квантуются к ближайшему из разрешенных уровней. Расстояния между смежными уровнями равно шагу квантования D. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением

D = 2^-b (4.1)

где b - разрядность кодовых слов.

Значение младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.

Разность истинного и квантованного числа называется ошибкой квантования. Ошибка квантования е(n) определяется неравенствами:

- при округлении чисел,

- при усечении чисел. (4.2)

На выходе цифровой системы ошибки квантования воспринимаются в виде шума, который называется шумом квантования.

Цифровые умножители наравне с АЦП являются источниками шума квантования; на выходе умножителей длину кодовых слов приходится ограничивать, т.к. разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна сумме разрядностей множимого и множителя.

Расчет уровня шума квантования осуществляется по шумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шума квантования на выходе АЦП и каждого из умножителей.