Цифровая обработка сигналов (стр. 9 из 11)

На Рис. 4.1, а приведена в качестве примера шумовая модель цифровой цепи, схема которой показана на Рис. 4.1, б. Обозначения для источников шума:

e₀(n) - источник шума от АЦП

e_i(n) - источник шума от каждого из Z множителей.

4.2. Расчет шумов квантования

Уровень шума квантования можно оценить, например, по величине максимума шума, т.е. оценка шума по условию наихудшего случая, или по величине усредненной энергии шума, т.е. вероятностная оценка шума.

4.2.1. Расчет максимума шума

Шум квантования на выходе цепи от i-го источника шума определяется по формуле свертки

где e_i(n) - шум на выходе i-го источника шума,

h_i (n) - импульсная характеристика участка цепи от i-го источника шума до выхода цепи.

Максимум шума Е_i получается в этом выражении при условии выполнения равенств в формулах (4.2) и совпадении знаков e_i (k) и h_i (n-k). В результате

- при округлении чисел,

- при усечении чисел.

Максимум шума на выходе цепи Е от всех источников шума определяется суммой максимумов, т.е. наихудший случай, от всех источников шума

(4.3)

где D₀/2 - максимум шума на выходе АЦП при округлении чисел,

D/2 - максимум шума на выходе каждого из Z умножителей при округлении чисел или условии одинаковой разрядности всех умножителей.

Оценка шума по максимуму приводит к значительному превышению расчетного уровня шума по отношению к реальному. Поэтому чаще применяется вероятностная оценка шума.

4.2.2. Расчет усредненной энергии шума.

Шум квантования имеет характер случайной последовательности типа "белый шум". Поэтому дисперсия шума на выходе цепи согласно (2.24), (2.25) определяется формулой

,

где

- дисперсия шума на выходе i-го источника шума. Учитывая характер шума, дисперсия шума на выходе источника будет определяться известными формулами:

- при округлении чисел

- при усечении чисел (4.4)

Следовательно, при округлении чисел

Дисперсия шума от всех источников на выходе цепи, при условии отсутствия корреляции между источниками шума, определяется суммой дисперсий шума от всех источников

(4.5)

где

- дисперсия шума на выходе АЦП при округлении чисел.

- дисперсия шума на выходе каждого из Z множителей при округлении чисел.

Вероятностная оценка шума характеризует усредненный уровень энергии шума, поэтому в реальных условиях не исключены кратковременные скачки помехи относительно расчетного значения.

4.3. Влияние структуры ЦФ на шум квантования.

Уровень шума квантования зависит от добротности полюсов передаточной функции. Добротность К-ого полюса определяется по формуле

(4.6)

где r_k - радиус полюса, Z_k =

(Рис. 4.2, а), Q_к = w_кТ - угол полюса, w_к - частота полюса.

Действительно, поскольку Z = e^pT, то

следовательно

Отсюда

поэтому

Чем выше добротность полюсов, тем выше уровень шумов квантования поскольку высокой добротности соответствует длительная циркуляция сигнала по цепи ОС при условии медленного снижения уровня сигнала с каждым новым обходом петли обратной связи. Но цепь ОС содержит, как правило, умножители, поэтому с каждой новой циркуляцией по цепи ОС сигнал все больше поражается помехой.

Реализация цепи на каскадном принципе позволяет ослабить негативное воздействие полюсов на помехозащищенность сигнала если, с одной стороны, каждому полюсу подобрать в пару ближайший к нему нуль (при совпадении полюса и нуля влияния полюса на шум полностью исключено), с другой стороны - располагать звенья в порядке нарастания добротности полюсов.

Основой каскадной реализации является представление передаточной функции в виде произведения простейших сомножителей в числителе и знаменателе

(4.7)

где Z_0m - нули H(Z), Z_Ґm - полюсы H(Z).

Сомножителям 1-го порядка (нули и полюсы - вещественные) соответствуют звенья 1-го порядка, сомножителям 2-го порядка (нули и полюсы - комплексно-сопряженные) соответствуют звенья 2-го порядка. При этом добротность вещественных полюсов тем выше, чем ближе к единичной окружности на плоскости Z располагается полюс.

Пример. Построить цепь на каскадном принципе по известной передаточной функции

H(Z) = 0,8

Решение.

Здесь

= 0,1 ± 0,4, = 0,1 ± 0,3

Следовательно

что соответствует схеме цепи на рис. 4.2, б.

Реализация на каскадном принципе передаточных функций высокого порядка может привести к значительному снижению уровня шумов квантования по сравнению с реализацией другими структурами цепи.

4.4. Квантование коэффициентов. Расчет разрядности.

Габариты, вес и стоимость специализированного процессора, предназначенного для обработки сигналов, тем меньше, чем короче кодовые слова и, в частности, кодовые слова, соответствующие коэффициентам цифровой цепи. Кодовые слова коэффициентов имеют, в общем случае, бесконечную разрядность, поэтому разрядность приходится ограничивать в пределах допусков на отклонение от нормы системных характеристик.

Спецпроцессор функционирует в системе чисел с фиксированной запятой. В этом случае дробная часть кодовых слов определяет модуль числа, целая часть - знак числа: знаку плюс соответствует нуль, знаку минус - единица. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную удобно выполнить в форме таблицы, в которой первая клетка отводится исходному числу, остальные клетки - результату перемножения на два дробной части предыдущего числа. Целая часть числа в основных клетках определяет дробную часть двоичного числа.

Пример. Дано десятичное число А₍₁₀₎ = 0,32.

Определить прямой код двоичного числа А₍₂₎, если разрядность двоичного числа принять равной 8.

Решение

Заполним таблицу промежуточных расчетов.

0,32 2

0,64 2

1,28 2

0,56 2

1,12 2

0,24 2

0,48 2

0,96 2

1,92 2

1,84

Отсюда двоичное число А₍₂₎ = 0,010100011

Последний - девятый - разряд необходим для округления.

Окончательный результат:

А₍₂₎ = 0,01010010 - после округления;

А₍₂₎ = 0,01010001 - после усечения.

Оценим погрешность полученных чисел конечной разрядности.

При округлении

А₍₁₀₎

0*2^-1 + 0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5 + 0*2^-6 + 1*2^-7 + 0*2^-8 = 0,3203125

Отсюда, относительная погрешность представления исходного числа кодовым словом конечной разрядности равной 8 составляет d» 0,1 %

При усечении

А₍₁₀₎

0*2^-1 + 0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5 + 0*2^-6 + 0*2^-7 + 1*2^-8 = 0,31640625

что соответствует d» 1,15 %

Существуют различные способы расчета разрядности коэффициентов по допускам на системные характеристики. Самый простой способ - метод проб.

Расчет по методу проб начинается с выбора разрядности коэффициентов ориентировочно, субъективно. Затем следует расчет системных характеристик с новыми - приближенными - значениями коэффициентов, оценка искажений характеристик и соответствующая коррекция разрядности коэффициентов в ту или иную сторону. Расчет повторяется столько раз, сколько потребуется для удовлетворительного решения задачи по выбору разрядности коэффициентов.

4.5. Чувствительность

Анализ искажений, вызванных квантованием коэффициентов, удобно выполнить по функции чувствительности S.