Функции индивидуального предпочтения (стр. 3 из 5)

4. Проверка марковости

Переходы людей наблюдаются статистическими бюро различных стран и доступны для исследователя. Отсюда появляется задача связать это движение с выбором лучшего каждым человеком. Известные модели движения населения (чаще всего это макромодели) обычно предполагают, что разные группы людей связываются потоками переходов. Более того, далее будут приведены зависимости, связывающие межгрупповые потоки людей с условиями в разных группах. Эти условия служат мотивами переходов и называются обычно факторами подвижности. Как макро так и микро модели движения людей, в которых учитываются факторы подвижности называют обычно факторными.

Факторные микромодели наиболее распространены среди исследователей миграции, реже они встречаются, когда говорят о социальной мобильности или межотраслевом движении. Чаще всего, как будет видно при исследовании макромоделей, факторные модели учитывают зависимость будущего статуса человека от его настоящего. Хотя это и упрощает действительную зависимость, но взамен дает возможность рассчитывать будущее в зависимости только от настоящего. Такой вид зависимости математики обычно называют Марковской зависимостью. Далее, когда будет встречаться такое упрощение, всегда будет говориться о марковости, Марковской зависимости или модели.

Несмотря на то, что наиболее часто встречающиеся в литературе факторные модели движения населения почти всегда бывают Марковскими, нигде не встречается доказательство того, что это действительно так, хотя для некоторых моделей (в частности, при делении людей на «оседлых» и «кочевников») известно, что они не могут быть Марковскими. Поскольку Марковские модели обладают рядом свойств, то выполнимость этих свойств необходимо проверять. Но это никогда не делалось. Этот пробел будет заполнен далее.

Решение о переходе принимается или нет, в зависимости от сравнения xи y, т.е. имеется некоторая функция f (x, y), связывающая силу тяги со старого места x в новое y, а f (x, x) дает привлекательность состояния y=x такую же, как на старом месте. Наверное перехрды будут в том случае, когда f (x, y)>f (x, x), при этом предполагается, что функция f (x, y) будет связана, скажем, с вероятностью перехода индивида из состояния xв состояниеy. Эта связь очень проста для Марковских моделей с непрерывным временем, так как для них f (x, y) – это может быть интенсивностью перехода, а для Марковских моделей с дискретным временем и, как правило, достаточно малойединицей времени h f (x, y) h – вероятность перехода из состояния x в состояниеy. Остается проверить лишь условия, которые необходимы для марковости.

Рассмотрим группы, обозначенные символами i и j, состоящие из мест с эквивалентными условиями жизни и труда: i – группа с условиями, эквивалентными x – любыми исходными условиями xÎX_i, j – группа с конкретными условиями y, куда человек переходит или стремится попасть, или эквивалентными им x_j; множество X_j содержит и условия y. Поскольку функция f (x, y) принимает при любых xÎX_i и yÎX_j=Y_j одни и те же значения, то f (x, y)=l_ij. Теперь интенсивности переходов между группами i и j будт функциями от факторов x и y.

Покажем, что факторная модель переходов отдельных людей (микро модель) между условиями x на старом и y на новом местах может быть Марковской. Для моделей с непрерывным временем достаточно проверить, что матрица интенсивностей переходов C=ºc_ijº обладает двумя свойствами: а) квазинеотрицательностью и б) суммы элементов каждой строки равные 0, т.е. Ce=0, гдеe=(1,1,…, 1)^T.

Положим далее интенсивности переходов l_ij=f (x, y) из условий xÎX_i в yÎY_j. Тогда, обозначив через l_i(Y_j) интенсивность переходов в группу j, которая может состоять не обязательно как ранее из эквивалентных условий, получим l_i(Y_j)=

, а для интенсивности переходов в любую группу (интенсивности выхода из группы i)r_i=
. Теперь легко увидеть, что необходимые условия а) и б) выполняются для матрицы C=-R+L, где L=ºl_ijº, а R – диагональная матрица с диагональными элементами r_i. Кстати, при фиксированном x и произвольном множестве Y_j, функция l_i(Y_j) будет переходной функцией Марковского процесса. Таким образом, факторная модель движения населения будет Марковским случайным процессом с переходными вероятностями l_ij=f (x, y).

Для Марковских моделей с дискретным временем аналогично. Действительно эти модели могут быть Марковскими лишь тогда, когда вероятности перехода p_ij из одного состояния (скажем, i) в другое (j), во-первых, неотрицательны, а, во-вторых, сумма p_ijпо всем j для любого i равна 1. Если допустить, что p_ij=f (x, y) h, где условия x присущи индивиду из групп i, аy– условия, на которые он переходит в группу j за время h, то оказывается (см. например [Староверов, 1979]), что p_ij могут быть только постоянными величинам, т.е. не могут меняться для разных групп i и j. Это значит, что модели, описанные, например, в [Бартоломью] не могут быть факторными, т.е. вероятности переходов не зависят от разных условий индивидов в группах i и j (скажем, проживающих в разных районах).

Однако, когда матрица P=R

-R+I, где R диагональная матрица, состоящая из элементов r_ih, равных сумме f (x, y) h по любымy,x – какие-либо из эквивалентных условий в группе i, а y– любые условия после перехода в группу j эквивалентных условий y, то модель может быть Марковской. Действительно, для любых функций f (x, y)>0 и r_i=
, если вероятности p_ij=r_ih при i¹j и p_ii=1‑r_ih+r_ih, где

вероятность перехода из группы i с эквивалентными условиямиxÎX_i в группу j с эквивалентными условиями yÎY_j после выхода из группы i, то вероятности p_ij уже неотрицательны и в сумме по j равны 1. Доказательство очевидно (см., например, [Староверов, 1979])

Итак, показано, что модель движения населения может зависеть от факторов подвижности так, что ее параметры (интенсивности перехода для случая непрерывного времени, вероятности перехода – для дискретного) представляют собой функции лишь от факторов в группе выхода (i) и группе попадания (j). Такая возможность, правда, дает лишь косвенное подтверждение марковости, так как сама марковость следует из трех гипотез, одна из которых говорит о том, что вероятности перехода l_ijh за малый интервал времени h зависят только от групп i и j, т.е., как сейчас стало ясно, от факторов подвижности только в этих двух группах.

Подчеркнем еще раз, что рассматриваются люди, которые перемещаются по состояниям x (т.е. из состояния xÎX_iв yÎX_j) и лишь множества X_i и X_j относят человека к той или иной группе (с эквивалентными или произвольными условиями). Если же

– все условия, предоставляемые людям, то принадлежность к группе определяется сторонним наблюдателем, которому удобнее рассматривать группы людей и движение между ними, а не переходы отдельного человека.

5. Основные свойства

Функции f (x, y) в первую очередь показывают, как отдельный человек сравнивает одни условия с другими, насколько одни условия (y) привлекательнее других (x), так как без улучшения условий своей жизни и труда. Более того, чем больше улучшаются условия при переходе, тем больше люди будут стремиться их обретать и тем чаще будут происходить перемещения людей. Таково основное предположение всех факторных моделей. Другими словами, люди по собственному желанию в заведомо худшие условия не пойдут, их можно загнать туда толь насильно или обманом – уж таковы предпочтения человека при переходе с одного места на другое. Поэтому будем называть интенсивности переходов до специально оговоренного случая еще функциями привлекательности, тяги или предпочтения, не различая эти термины, как и было отмечено ранее.

Функции f (x, y), показывающие зависимость интенсивности перемещения от уровней предпочтения, степени привлекательности или силы тяги, были известны давно, как и их общие свойства. Например, при улучшении своего положения (увеличении компонент набора x), индивид уменьшает свое желание к переходам на другие фиксированные условия (y). Наоборот, при фиксированном набореx, улучшение условийy, предлагаемых человеку в другом месте, желательность перехода, поэтому и его интенсивность, будет возрастать.