Функции индивидуального предпочтения (стр. 4 из 5)

Для экологических факторов, таких как загрязненность, радиация и т.д., если есть потребность представлять их как заработки, т.е. при увеличении значений факторов предпочтение также растет, их следует представлять в виде либо обратных величин, либо результата вычитания показателя из некоторого условного уровня, например, предельно допустимой нормы. Далее будут указаны другие возможности.

Будем для простоты считать все факторы непрерывно меняющимися, а функции f (x, y) – гладкими, тогда в математическом виде интенсивности переходов f (x, y) обладают следующими свойствами:

, a (см., [4]). Поскольку x – вектор, то – будет вектором , а неравенства <0 или >0 означает положительность (для ) всех компонент, или их отрицательность (для ).

6. Примеры. Эти общие свойства справедливы для всех частных случаев, которые были использованы для моделирования миграции.

Пример 1. (аддитивная или линейная интенсивность переходов). Наиболее простой представляется такая зависимость функции интенсивности f (x, y) когда она линейна как по x так и по y. Наиболее общий вид такой функции f (x, y)=a-

x+

, где a – скаляр (число), аb_ix и y– векторы-столбцы. Однако, чаще всего используется частный случай, когдаb₁=b₂=b. Это связано с тем, что предельная эффективность одного и того же фактора при одних и тех же условиях одинакова по абсолютной величине и отличается только знаком (этот вопрос подробнее обсуждается далее). Таким образом, чистая линейная или аддитивная интенсивность переходов имеет вид:

f (x, y)=a+b^T(y-x).

Пример 2. (Мультипликативная интенсивность переходов). Другой частный вид интенсивности переходов состоит в том, что каждый фактор подвижности как бы умножает действия всех остальных, т.е. увеличившись в несколько раз, повышает предпочтения всех остальных в то же самое количество раз. Частный случай таков:

В более общем виде, который чаще всего использовался в практике моделирования, интенсивность переходов обычно записывается следующим образом:

f (y, x)=

Замечание. Видно, что последняя функция из примера 2 связана с функцией из примера 1 тем, что после логарифмирования и измерения факторов и предпочтений в логарифмической шкале они совпадают. Действительно,

lnf (x, y)=lnA+b₁(lny₁-lnx₁) +b₂(lny₂-lnx₂)+… +b_m(lny_m-lnx_m),

т.е. логарифм мультипликативной функции предпочтения совпадает с линейной функцией предпочтения, если вместо факторов подвижности подставит их логарифмы.

7. Предельная эффективность факторов

Интенсивности переходов f (x, y) (вероятности при дискретном времени) обычно связаны (пропорциональны) функции предпочтения. Поэтому при всех фиксированных условиях (наборах факторов x и y) и интенсивности переходов и предпочтения постоянны. Но возникает вопрос, что будет происходить с этими функциями, а, следовательно, с переходами людей при малых изменениях какого-либо одного фактора подвижности, скажем, x_s, когда все остальные факторы не изменяются, т.е. при прочих равных условиях.

Математически малые изменения df (x, y)=

dx_s. При изменении y_s изменение интенсивностей переходов df (x, y)=

dy_s, но теперь можно учесть, что <0, а >0. Отсюда следует, что при увеличении x_s, например, реальной оплаты труда, на величину dx_s>0 интенсивность переходов уменьшается (dx_s>0, а <0), а при ее уменьшении на старом месте – увеличивается (dx_s<0, <0, т.е. dx_s>0). Аналогично, но с обратным знаком для y_s.

Теперь ясно, что кроме знака изменения интенсивности переходов известно и во сколько раз (

или ) отличается изменение функции при малом изменении аргумента (dx_s, dy_s), что дает основание называть соответствующую производную или предельной эффективностью фактора s, т.е. x_s и y_s соответственно.

Пример 3. Найдем эффективность действия фактора x_s (и y_s) для интенсивности переходов линейного вида, зависящей от трех факторов (s=1,2,3); f (x, y)=a+b^T(y-x)= =a+b₁(y₁-x₁)+b₂(y₂-x₂)+b₃(y₃-x₃). В этом случае

=-b_s, а =b_s, т.е. для любого из трех факторов предельная эффективность его не зависит от значений остальных т.е. факторы увеличивают или уменьшают интенсивности независимо от значений остальных. Последнее обстоятельство сильно упрощает вычисления.

Пример 4. Найдем эластичность интенсивности от фактора x_s (y_s) для функции из примера 2. Для этого проще всего воспользоваться уже сделанным логарифмическим преобразованием, из которого следует, что

(см. также задачу 1). Последние соотношения говорят о том, что эластичности интенсивности переходов от факторов (т.е. отношение к и ) постоянны по абсолютной величине для любого s, но для разных s они, вообще говоря, разные.

Из примеров 3 и 4 следует, что интенсивность переходов для примера 1 можно было бы назвать интенсивностью переходов с постоянными эффективностями факторов, а интенсивность переходов из примера 2 – интенсивностью переходов с постоянными эластичностями. Однако можно пользоваться и тем и другим названием. Гораздо важнее для дальнейшего то, что отношения а) эффективностей одноименных факторов исходных и финальных условий для интенсивности переходов с постоянной эффективностью и б) отношение эластичностей от тех же самых факторов интенсивностей переходов с постоянными эластичностями равны друг другу, так как они равны -1.

Задачи

1. Убедитесь, что равенства

справедливы и без логарифми-ческого преобразования функции полезности из примера 2.

2. Пусть интенсивность перехода f (x, y)=a+b^T(y-x), где a=0,5, аb^T=(2,3,4), и индивид, имеющий x=(0,4; 0,3; 0,2), рассматривает возможные переходы в другие группы на места y₁=(0,3; 0,2; 0,3), y₂=(0,2; 0,4; 0,1) и y₃=(0,41; 0,29; 0,25) На какие места (1, 2, или 3) человек будет претендовать? Сколько их всего?

3. Сколько привлекательных мест для человека из задачи 2, если а) на каждом месте y_i(i=1,2,3) работают по 10 человек; б) если набором y₁ обладают 50, y₂ – 40, а y₃ – 10 человек? Сколько их всего?

4. Есть группы, в которые можно перейти человеку из задачи 2. Исходная группа соответствует задаче 2, а другие предоставляет те же y₁, y₂, y₃, что в задаче 3б, но добавлеена еще группа с y₄= =(o, 35; 0,2; 0,31). Обсудите вопрос какая из групп предпочтительнее, если на местах с y₁ находятся 10 человек, а с y₂, – 30, с y₃ – 20, а с y₄ – 15 человек.

5. Пусть интенсивность перехода соответствует задаче 2 и рассматриваются интенсивности перехода в группу j с состояниями y₁, y₂, y₃ из задачи 3 из группы i с состояниями x из задачи 2. Обсудите вопрос о том, что интенсивности перехода в группу j из группы i а) зависят лишь от x; б) зависят от средних значений y₁, y₂, y₃. Какую функцию от a+b^T(y-x) можно взять в качестве интенсивности перехода?