Общая теория статистики (стр. 3 из 3)

Таблица 9.Результаты работы предприятий

Заводы, п/п	Продукция, в сопоставимых ценах, млрд. руб.	Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.
1.	7,1	7,3
2.	2,9	4,1
3.	14,0	10,7
4.	4,8	7,3
5.	15,7	12,5
6.	11,8	8,4
6.	16,1	11,5
8.	16,6	12,7
9.	10,2	7,8
10.	0,6	0,7
11.	0,9	0,9
12.	2,6	2,5
13.	5,5	5,6
14.	4,1	4,0
15.	4,9	4,8
16.	0,9	1,0
17.	1,3	1,2
18.	6,4	5,2
19.	2,8	2,5
20.	0,8	0,9
21.	0,7	0,8
22.	4,9	3,9
23.	12,1	10,6
24.	12,2	11,7
25.	11,8	10,7
26.	8,5	6,1

С целью выявления зависимости между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции произведите группировку заводов по размеру основных фондов, образовав к групп заводов с равными интервалами. Величину интервалов определите с помощью правила Стерджесса. По каждой группе подсчитайте:

число заводов;

стоимость основных производственных фондов - всего и в среднем на один завод;

стоимость валовой продукции - всего и в среднем на один завод;

фондоотдачу (в процентах).

Результаты представьте в групповой итоговой таблице 10. Сделайте выводы.

Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак - у) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак - х). На основании исходных данных:

1. постройте поле корреляции, составьте корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стреджесса, нанесите эмпирическую линию регрессии на поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;

2. в целях синтезирования моделей зависимостей задайте вид и вычислите параметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии на график.

3. для установления практической значимости модели вычислите возможные показатели тесноты связи (коэффициент детерминации, эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения, линейный коэффициент корреляции);

4. оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п. п.2, 3, 4;

5. используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд. руб.

Решение:

Определим количество интервалов по правилу Стерджесса. Разделим выборку на L классов, где L = 1 + 3,322·lg (26) = 6. При группировке с равными интервалами для расчета длины одного интервала применяется формула:

где h - длина одного интервала;

x_max - максимальное значение группировочного признака;

x_min - минимальное значение группировочного признака;

Найдем длину интервала:

Найдем в какую группу попадает каждый завод и запишем ее номер в дополнительный столбец в таблице исходных данных. Рассчитаем требуемые параметры по группам и полученные значения сведем в таблицу:

Таблица 10.

Итак, наибольшие стоимость ОПФ и размер валовой продукции имеет группа заводов №6, у заводов этой же группы наибольшее среднее значение размера валовой продукции и фондоотдачи.

Определим количество интервалов по правилу Стерджесса. Разделим выборку на L классов, где L = 1 + 3,322·lg (26) = 6.

Найдем длину интервала по размеру валовой продукции:

Составим корреляционную таблицу

Х \ Y	0,6 - 3,3	3,3 - 5,9	5,9 - 8,6	8,6 - 11,2	11,2 - 13,9	13,9 - 16,6	Итого
0,7 - 2,07	6	0	0	0	0	0	6
2,07 - 4,07	3	2	0	0	0	0	5
4,07 - 6,07	0	2	2	0	0	0	4
6,07 - 8,07	0	1	1	1	1	0	4
8,07-10,07	0	0	0	0	2	1	3
10,07-12,07	0	0	0	0	1	3	4
Итого	9	5	3	1	4	4	26

Построим поле корреляции и нанесем на него эмпирическую линию корреляции.

Анализируя поле корреляции и линию регрессии можем видеть, что зависимость имеет скорее всего линейный вид и связь сильная.

Запишем уравнение регрессии как

Y_i_теор = a₀ + a₁X_i,

где Y_i_теор - рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановки в уравнение Х. Параметры a₀ и a₁ найдем по формулам вытекающей из МНК:

a₁ =

,a₀ =

Итак:

a₁ = 1,26; a₀ = 7,05 - 1,26 · 4,45 = 0,15.

Т. е. Y_i_теор = 0,15 + 1,26·X_i.

Нанесем теоретическую линию регрессии на график

Коэффициент детерминации R² рассчитывается по формуле

R² =

R² = (67,68/80,65) = 0,84

Т. е. теоретическая регрессия на 84 процента совпадает с эмпирическими данными.

Теоретическое корреляционное отношение R равно корню квадратному из коэффициента детерминации:

R =

= 0,916

Т. е. 91,6% вариации обусловлено различием между заводами.

Линейный коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:

Т.к. линейный коэффициент корреляции равен 0,643, то связь средняя или заметная. Надежность коэффициентов оценим по отношению:

;

Т. к. отношение больше чем t = 2,56, то коэффициенты надежны.

Итак получена линейная модель Y_i_теор = 0,15 + 1,26·X_i, которая будучи нанесенной на график достаточно хорошо характеризует выборку. Связанность факторного и результативного признака заметная и линейный коэффициент надежен.

Спрогнозируем по модели стоимость продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд. руб.

Y = 0,15 + 1,26·14 = 17,79 млрд. руб.