Общая теория статистики (стр. 1 из 3)

Контрольная работа по общей теории статистики

Задача № 1

Для изучения производительности труда рабочих завода было проведено 10% -ое выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные о дневной выработке изделий рабочими:

Дневная выработка рабочих.

Таблица 1

Количество изделий за смену, шт.	Число рабочих
До 20	5
20-22	15
22-24	35
24-26	80
26-28	95
28-30	4
Свыше 30	1

На основании этих данных вычислите:

1. среднюю сменную выработку;

2. моду и медиану;

3. размах вариаций;

4. среднее линейное отклонение;

5. дисперсию;

6. среднее квадратичное отклонение;

7. коэффициент вариации, оцените однородность совокупности;

8. с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и возможные границы, в которых можно ожидать среднюю выработку рабочих завода;

9. с той же вероятностью пределы удельного веса числа рабочих, вырабатывающих за смену свыше 26 изделий.

Сделайте выводы.

Решение:

За величины открытых интервалов (у которых верхняя или нижняя границы точно не определены) условно примем величины смежного закрытого интервала. Т.е. величина интервала первого интервала равна величине второго интервала и равна 2, а величина 7-го интервала равна величине 6-го и равна 2. Найдем среднее значение признака по формуле:

,

где

- среднее значение признака; x_i - значение признака на интервале (середина интервала); m_i - частота повторения признака на интервале.

.

Найдем моду и медиану выборки. Мода - это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для данной выборки мода равна группе 26-28. Медиана - величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. Для данной выборки медианный интервал равен 24-26. Таким образом, чаще всего, изготавливают от 24 до 26 деталей, причем половина рабочих изготавливает больше 25 деталей. Найдем размах вариаций. Нижняя граница выборки равна x_min= 18; верхняя граница выборки равна x_max= 30 + 2 = 32.

Размах вариаций H = x_max - x_min = 32 - 18 = 14.

Среднее линейное отклонение найдем по формуле:

,

где Л - среднее линейное отклонение.

Найдем дисперсию признака по формуле:

,

где

- дисперсия признака.

Среднее квадратичное отношение

.

Коэффициент вариации

.

Коэффициент вариации меньше 33 %, значит выборка однородная.

Возможные пределы, в которых ожидается средняя выработка рабочих завода с вероятностью 0,954 найдем из формулы:

где t - коэффициент доверия при заданной степени вероятности (находится по таблице).

- средняя ошибка выборочной средней;

- предельная ошибка выборки Δ.

Средняя ошибка выборочной средней находится по формуле:

,

где N - общее число изделий.

В нашем случае n / N = 0,1, т.к проводилось обследование 10% изделий.

.

t (0,954; 100) = 2,0, следовательно предельная ошибка и интервал равны:

Δ = 2,0 · 0,13 = 0,26 шт.

(25,2 - 0,26; 25,2 + 0,26) (24,94; 25,46).

Т. е. средняя выработка рабочих завода с вероятностью 0,954 будет в интервале от 24,94 до 25,46 штук за смену.

Возможные пределы удельного веса числа рабочих, вырабатывающих более 26 изделий за смену с вероятностью 0,954 найдем из формулы:

,

где

- средняя ошибка выборочной доли. Она находится по формуле:

,

- частота появления альтернативного признака, равная m/n, где m - число случаев в выборке, когда стаж попадает в заданный интервал. В нашем случае m = 95 + 4 + 1 = = 100 и = 100/235 = 0,43. Тогда:

,

t (0,954) = 2,0, предельная ошибка выборочной доли равна

= 0,06

Следовательно интервал равен:

(0,43 - 0,06; 0,43 + 0,06); (0,424; 0,436).

Т. е. с вероятностью 0,954 от 42,4% до 43,6% рабочих будет вырабатывать более 26 изделий за смену.

Задача №2.

Имеются следующие данные о продаже товаров на колхозном рынке города.

Таблица 2. Реализация товаров на рынке города

Наименование товара	Средняя цена единицы товара, руб.		Продано товара, тыс. ед.
	Базис	Отчет	Базис	Отчет
Молоко, л	3500	3000	500	500
Картофель, кг	1500	1000	600	700
Морковь, кг	3000	2000	150	200

Определите:

1. индивидуальные индексы цен и количества проданных товаров;

2. общий индекс цен;

3. общий индекс физического объема товарооборота;

4. выполните факторный анализ.

На основании индексов, исчисленных в пунктах 2,3, используя взаимосвязь индексов определить, на сколько процентов изменился товарооборот в фактических ценах.

Решение:

Индивидуальный индекс цены найдем по формуле:

,

гдеi_p - индивидуальный индекс цены продукции,

p₁ и p₀ - цена продукции в отчетном и базисном периодах соответственно.

Найдем индивидуальные индексы цен для всех товаров

[молоко] i_p = 3000/3500 = 0,857.

[картофель] i_p = 1000/1500 = 0,667.

[морковь] i_p = 2000/3000 = 0,667.

Индивидуальный индекс объема продукции найдем по формуле:

,

гдеi_q - индивидуальный индекс объема продукции,

q₁ и q₀ - объем продукции в отчетном и базисном периодах соответственно. Найдем индивидуальные индексы физического объема для всех товаров:

[молоко] i_q = 500/500 = 1,0., [картофель] i_q = 700/600 = 1,667.

[морковь] i_q = 200/150 = 1,333.

Общий индекс цен найдем по формуле:

,

где I_p - общий индекс цен.

.

Общий индекс физического объема найдем по формуле:

,

где I_q - общий индекс физического объема.

.

Общий индекс товарооборота найдем, используя индексную факторную модель.

Поскольку товарооборот равен произведения цены товаров на объем продаж, то общий индекс товарооборота равен произведению общего индекса цен на общий индекс физического объема товарооборота:

I_pq = I_p · I_q., где I_pq - общий индекс товарооборота.

Т.о. общий индекс товарооборота:

I_pq = 0,765 · 1,097 = 0,839.

Т. к. общий индекс товарооборота меньше 1, то товарооборот в фактических ценах уменьшился на 16,1% (1 - 0,839 = 0,161)

Задача № 3.

Динамика себестоимости и объема продукции "А" на двух заводах характеризуется следующими данными:

Таблица 3. Выпуск продукции "А".

Заводы	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.		Выработано продукции, тыс. руб.
	Базис	Отчет	Базис	Отчет
1.	4,0	3,4	2,0	3,0
2.	3,5	3,0	3,0	5,0

На основании этих данных вычислите:

1. индекс себестоимости переменного состава;

2. индекс себестоимости постоянного состава;

3. индекс структурных сдвигов.

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

Решение:

Индексом переменного состава в статистике называют отношение двух средних величин. Найдем индекс переменного состава по следующей формуле:

,

где

- индекс переменного состава;

и - средняя себестоимость в отчетном и базисном периодах соответственно;

p₁ и p₀ - цена продукции в отчетном и базисном периодах соответственно.

q₁ и q₀ - объем продукции в отчетном и базисном периодах соответственно.