Социальное прогнозирование в сфере демографических процессов (стр. 3 из 10)

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

, если n = 3 (1)

гдеt + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); y_t₊₁– прогнозируемый показатель;

– скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; y_t– фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; y_t_-1– фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

Для временного ряда показателя «Численность населения на 1 января» определим величину интервала сглаживания: n =3. Исходные данные представлены в приложении 1. Рассчитаем скользящую среднюю для первых трех периодов:

Далее рассчитываем скользящую среднюю для следующих трех периодов:

и т.д.

Составим таблицу расчетов (полностью в приложении 1).

Таблица 2

Расчет прогнозного значения численности населения в Оренбургской области методом скользящей средней.

Годы	Численность населения Оренбургской области на 1 января, человек	Скользящая средняя m	Расчет средней относительной ошибки
1990	2 151 097	-	-
1991	2 159 743	2 159 699	0,00
1992	2 168 257	2 170 201	0,09
…
2006	2 137 850	2 137 920	0,00
2007	2 125 503	2 127 452	0,09
2008	2 119 003	2 118 679	0,02
2009	2 111 531	2 115 267	-
итого	43 528 625	0,85
прогноз
2010	2 116 188	2 114 949
2011	2 117 127
2012	2 115 261
Средняя относительная ошибка ɛ			0,05
Средняя абсолютная ошибка Δ			299
Средняя квадратическая ошибка			1 478

Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, построим прогноз на 2010 год по формуле (1):

Определяем скользящую среднюю для 2009 года:

и строим прогноз на 2011 год:

чел.

В таблице 2 приведены расчетные данные для определения средней относительной ошибки. Найдем ее значение, разделив на число уровней (n=18):

, что соответствует высокой точности прогноза.

Расчетные таблицы для определения прогнозных значений других демографических показателей приведены в приложении 1. Полученные результаты представим в таблице.

Таблица 3

Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся, умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом скользящей средней.

Абсолютный показатель, человек	2006	2007	2008	Прогноз на 2009	Прогноз на 2010	Прогноз на 2011	Δ		ε
Родившиеся	23335	25776	26947	25 743	25 754	26 125	-85	594	2,20
Умершие	31 583	31 000	30 904	31 130	31 087	31 026	32	795	2,02
Абсолютный показатель, человек	2007	2008	2009	Прогноз на 2010	Прогноз на 2011	Прогноз на 2012	Δ		ε
Прибывшие	31 949	25 570	28 053	29 352	28 091	28 078	11	2177	5
Выбывшие	33 225	29 085	25 603	28 144	28 457	27 506	32	1161	2,05

Величины средних оценок и средней относительной ошибки позволяют считать точность прогноза достаточно высокой.

2.2 Нахождение прогнозных значений методом экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке среднесрочных прогнозов. Он приемлем при прогнозировании только на один период вперед.

Рабочая формула метода экспоненциального сглаживания:

(2)

где t – период, предшествующий прогнозному; t+1– прогнозный период;

- прогнозируемый показатель;

- параметр сглаживания;

-фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному;

экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.

При прогнозировании данным методом возникает два затруднения:

1) выбор значения параметра сглаживания α;

2) определение начального значения U_о.

От величины α будет зависеть, как быстро снижается вес влияния предшествующих наблюдений. Чем больше α, тем меньше сказывается влияние предшествующих лет. Если значение α близко к единице, то это приводит к учету при прогнозе в основном влияния лишь последних наблюдений; если близко к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения. Таким образом, если есть уверенность, что начальные условия, на основании которых разрабатывается прогноз, достоверны, следует использовать небольшую величину параметра сглаживания (α→0). Когда параметр сглаживания мал, то исследуемая функция ведет себя как средняя из большого числа прошлых уровней. Если нет достаточной уверенности в начальных условиях прогнозирования, то следует использовать большую величину α, что приведет к учету при прогнозе в основном влияния последних наблюдений.

Точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α нет. В отдельных случаях автор данного метода профессор Браун предлагал определять величину α, исходя из длины интервала сглаживания. При этом α вычисляется по формуле:

(3)

где n– число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

Задача выбора U_о(экспоненциально взвешенного среднего начального) решается следующими путями:

1) если есть данные о развитии явления в прошлом, то можно воспользоваться средней арифметической, и U_о равен этой средней арифметической;

2) если таких сведений нет, то в качестве U_о используют исходное первое значение базы прогноза Y₁.

Также можно воспользоваться экспертными оценками.

Используем метод экспоненциального сглаживания для составления прогнозных значений. Величина параметра сглаживания для показателя численности населения составит:

, для показателей «число родившихся» и «число умерших», «число прибывших» и «число выбывших»:

. Значения близки к нулю, следовательно, веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения.

Определяем начальное значение U_одля показателя численности населения двумя способами:

1 Способ (средняя арифметическая):

2 Способ (первое значение базы прогноза):

Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года, используя формулу 2, занесем результаты в таблицу.

Таблица 4

Расчет прогнозного значения численности населения Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

года	Численность постоянного населения на 1 января, человек	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
I способ	II способ	I способ		II способ
1	1990	2 151 097	2176434	2 151 097	1,18		0,00
2	1991	2 159 743	2174021	2 151 097	0,66		0,40
3	1992	2 168 257	2172661	2 151 920	0,20		0,75
…
19	2008	2 119 003	2175920	2 171 738		2,69		2,49
20	2009	2 111 531	2170499	2 166 716		2,79		2,61
прогноз	2010	2 164 883	2 161 460
итого	43 528 685	27,20		29,84
Средняя относительная ошибка ɛ						1,36		1,49
Средняя абсолютная ошибка Δ						-6064		5441
Средняя квадратическая ошибка						33749		36868

Величина средней относительной ошибки при расчете 2-м способом выше, но оба значения свидетельствуют о высокой точности прогноза.