Для оценки надежности тренда необходимо оценить надежность его главного параметра – ускорения. Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра с вычисляется по формуле:
(8)Где S(t) – оценка генерального показателя колеблемости, учитывающая потерю степеней свободы и определяемая по формуле 6.
Используя данные приложения 3, найдем искомые величины:
Отношение параметра с (половина ускорения) к его средней ошибке - это t-критерий Стьюдента:
Табличное значение критерия Стъюдента
Фактическая величина критерия больше табличного, следовательно, вероятность нулевой гипотезы (о равенстве параметра с нулю) чрезвычайно мала. Достоверно известно, что тренд существовал, и что численность населения Оренбургской области снижалась не случайно.Прогноз по этой модели заключается в подстановке в уравнение тренда номера периода, который прогнозируется. Для 2010 года период времени t= 10,5, прогнозное значение составит:
2010= =2 069 907 чел.Полученное прогнозное значение является точечным и не учитывает колеблемость уровней показателя.
При прогнозе с учетом случайной колеблемости учитывается как вызванная колеблемостью ошибка репрезентативности выборочной оценки тренда, так и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда.
Общая формула средней ошибки прогноза положения параболического тренда на период с номером
от середины базы расчета тренда имеет вид: (9)Средняя ошибка тренда на 2010 год равна:
Вероятность того, что фактическая ошибка не превысит одного среднего квадратического отклонения, т.е. m равна при нормальном распределении 0,68. Чтобы получить доверительный интервал прогноза линии тренда с большей вероятностью, например с вероятностью 0,95,среднюю ошибку нужно умножить на величину t-критерия Стъюдента для вероятности 0,95 и n-p степеней свободы.
Получаем вероятную ошибку:
с вероятностью 95% можно утверждать, что тренд численности населения в Оренбургской области в 2010 году проходит в границах 2 069 907±13 307 или от 2 056 600 до 2 083 214 человек.
Определив ошибку репрезентативности выборочной оценки тренда, и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда, получаем единую формулу средней ошибки прогноза конкретного отдельного уровня:
(10)Для искомого прогнозного значения:
11 286 .Таким образом, для прогнозного значения показателя численности населения на 1 января 2010 года определены границы доверительного интервала 2 046 096 – 2 093 718 человек.
Аналогично рассчитываем прогнозные значения на 2011-2012 годы:
2011=2 045 646 чел.Доверительный интервал: (2 020 126; 2 071 166).
2012=2 019 459 чел.Доверительный интервал: (1 991 780; 2 047 138)
Средняя относительная ошибка
, что свидетельствует о высокой точности прогноза.Расчет прогнозных значений для других показателей приведен в приложении 3, сведем полученные результаты в общую таблицу:
Таблица 5
Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся и умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом наименьших квадратов.
Абсолютный показатель, человек | 2006 | 2007 | 2008 | Прогноз на 2009 | Прогноз на 2010 | Прогноз на 2011 | Δ | ε | |
Родившиеся | 23335 | 25776 | 26947 | 29 253 | 31 220 | 33 395 | 0 | 1135 | 4,13 |
Умершие | 31 583 | 31 000 | 30 904 | 30 190 | 29 392 | 28 470 | 0 | 1420 | 3,69 |
Абсолютный показатель, человек | 2007 | 2008 | 2009 | Прогноз на 2010 | Прогноз на 2011 | Прогноз на 2012 | Δ | ε | |
Прибывшие | 31 949 | 25 570 | 28 053 | 29 586 | 31 144 | 33 202 | 0,11 | 3499 | 7,68 |
Выбывшие | 33 225 | 29 085 | 25 603 | 24 352 | 22 589 | 20 826 | 0 | 2437 | 5,17 |
Величины относительной ошибки свидетельствуют о высокой точности прогноза. По имеющимся данным видно, что при наметившихся тенденциях естественный прирост населения в прогнозируемые годы увеличится (увеличение рождаемости и снижение смертности), как и миграционный прирост.
Для сравнения полученных результатов составим сводную таблицу по всем применяемым методам:
Численность постоянного населения на 1 января, человек | |||||||||
МСС | МЭС | МНК | |||||||
2007 | 2 125 503 | 2 125 503 | 2 125 503 | ||||||
2008 | 2 119 003 | 2 119 003 | 2 119 003 | ||||||
2009 | 2 111 531 | 2 111 531 | 2 111 531 | ||||||
прогноз | |||||||||
2010 | 2 116 188 | 2 164 883 | 2 069 907 | ||||||
2011 | 2 117 127 | 2 045 646 | |||||||
2012 | 2 115 261 | 2 019 459 | |||||||
Ср. абсолют. оценка | 299 | -6064 | 0,38 | ||||||
Ср. квадрат. оценка | 1 478 | 33749 | 8628 | ||||||
Ср. относит. ошибка | 0,05 | 1,36 | 0,017 | ||||||
Число родившихся, чел. | Число умерших, чел. | ||||||||
МСС | МЭС | МНК | МСС | МЭС | МНК | ||||
2 006 | 23335 | 23335 | 23335 | 31 583 | 31 583 | 31 583 | |||
2 007 | 25776 | 25776 | 25776 | 31 000 | 31 000 | 31 000 | |||
2 008 | 26947 | 26947 | 26947 | 30 904 | 30 904 | 30 904 | |||
прогноз | |||||||||
2 009 | 25 743 | 23 915 | 29 253 | 31 130 | 30 754 | 30 190 | |||
2 010 | 25 754 | 31 220 | 31 087 | 29 392 | |||||
2 011 | 26 125 | 33 395 | 31 026 | 28 470 | |||||
Ср. абсолют. оценка | -85 | -135 | 0 | 32 | 64 | 0 | |||
Ср. квадрат. оценка | 594 | 3 275 | 1135 | 795 | 2 571 | 1420 | |||
Ср. относит. ошибка | 2 | 9,94 | 4,13 | 2,02 | 8,14 | 3,69 | |||
Число прибывших, человек | Число выбывших, человек | ||||||||
МСС | МЭС | МНК | МСС | МЭС | МНК | ||||
2007 | 31 949 | 31 949 | 31 949 | 33 225 | 33 225 | 33 225 | |||
2008 | 25 570 | 25 570 | 25 570 | 29 085 | 29 085 | 29 085 | |||
2009 | 28 053 | 28 053 | 28 053 | 25 603 | 25 603 | 25 603 | |||
прогноз | |||||||||
2010 | 29 352 | 37 366 | 29 586 | 28 144 | 36311 | 24 352 | |||
2011 | 28 091 | 31 144 | 28 457 | 22 589 | |||||
2012 | 28 078 | 33 202 | 27 506 | 20 826 | |||||
Ср. абсолют. оценка | 11 | -3539 | 0,11 | 32 | -2070 | 0 | |||
Ср. квадрат. оценка | 2 177 | 15857 | 3499 | 1 161 | 8458 | 2437 | |||
Ср. относит. ошибка | 5 | 35,27 | 7,68 | 2 | 20,04 | 5,17 |
Как видно из таблицы, значения средней квадратической оценки средней относительной ошибки у показателей минимальны для метода скользящей средней, и в целом данный метод дает хорошие результаты при прогнозировании демографических процессов. Кроме того, метод прост в использовании, что открывает широкие возможности для его применения. Метод наименьших квадратов более сложен в работе, но позволяет получить также достоверные результаты при условии подбора вида линии тренда, хорошо аппроксимирующей исходный динамический ряд.
Применение метода экспоненциального сглаживания целесообразно только при условии использования среднего уровня ряда в качестве начального значения экспоненциальной взвешенной. Но и в этом случае, полученные результаты являются самыми ненадежными по сравнению с прогнозированием другими методами.