Выборочный метод (стр. 4 из 4)

(1.9.27)

где S(t, v) — функция Стьюдента, значения которой для различных значений tи v подробно рассчитаны и представлены в специальных таблицах.

Выражение (1.9.27) эквивалентно выражению:

(1.9.28)

где

Решение задач с помощью этого равенства аналогично решению задач с использованием формулы Лапласа. Лишь определение п несколько усложняется из-за того, что оно входит также в параметр v = n—1.

Поэтому можно воспользоваться схемой последовательных приближений. Вначале производят оценку (s²) генеральной дисперсии. Затем находят п₁по схеме (1.9.25), используя таблицу функции Лапласа и принимая σ² = s²- По найденному n₁и, соответственно, v₁ = n₁ — 1 и заданному значению

Р=1—α определяют t₁(по таблице распределения Стьюдента) и вычисляют

и так далее.

Теперь можно снова повторить расчет по v₂ = n₂ — 1 и т.д.

Итерация заканчивается, если окажется n_i≈ n_i-1.

Пример 1.9.7. Для определения среднего заработка работника за день при соблюдении необходимых условий было отобрано 10 работников, заработок которых оказался равным (в руб.): 325; 337; 319; 330; 327; 328; 332; 320; 318; 334. Требуется определить с вероятностью 0,95 доверительный интервал для среднего заработка работников в генеральной совокупности, если есть основания полагать, что заработная плата в генеральной совокупности подчиняется нормальному закону определения.

Решение:

По данным выборки определяем среднюю и дисперсию. Получаем

;

Рассчитываем несмещенную оценку генеральной дисперсии

Предположение о нормальном характере генерального распределения позволяет нам использовать равенства (1.9.27) и (1.9.28). Обращаясь к таблице значений функции Стьюдента, по заданным P = 2S(t, v)=0,95 и v = n—1 = 10 – 1 = 9 находим t = 2,26.

Вычисляем предельную ошибку выборки ε=

(кг).

Доверительный интервал для генеральной средней:

327—5<

<327+5 или 322< <332.

Пример 1.9.8. Используя данные примера 1.9.7, определить объем выборки, необходимый для того, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,95 не превышала 3 рубля.

Решение.

Мы имеем оценку генеральной дисперсии s² = 42,4. Вначале находим n₁ по формуле (1.9.25), принимая σ² = s²и определяя zпо таблице функции Лапласа:

Теперь обращаемся к таблице функции Стьюдента и по Р = 0,95,

v₁ = n₁—1 ≈ 17 находим значение t₁=2,11.

Вычисляем

По Р = 0,95 и v₂ = n₂—1 = 21 – 1 = 20 находим t₂ = 2,09.

Вычисляем

Поскольку n₃ ≈ n₂ , то необходимый объем выборки устанавливается 21 человек.

Еще раз отметим, что рассмотренные выше схемы решения задач для малых выборок справедливы только при предположении нормального характера генерального распределения. При отсутствии такого предположения распределения

неизвестно, и выборочную среднюю можно использовать лишь как точечную оценку генеральной средней без оценки точности .приближенного равенства , т. е. без расчета доверительного интервала.

3.5.3.Безвозвратная выборка

В случае безвозвратной выборки формула для среднего квадратического отклонения выборочной средней, согласно (2.21), примет вид:

(1.9.29)

Если генеральное среднее квадратическое отклонение σнеизвестно (наиболее реальная ситуация), то мы заменяем его точечной оценкой s', которая рассчитывается по формуле (1.9.20). В результате получим:

(1.9.30)

(.s— обычное «исправленное» среднее квадратическое отклонение

)

Во всем остальном ход решения задач как для случая больших выборок, так и для случая малых выборок остается прежним.

Корректирующий множитель

при малой величине (например, для 1 или 5% выборок) близок к 1, и поэтому расчеты могут производиться как для возвратной выборки.