Корреляционно-регрессионный анализ
Министерствообщего и профессионального
образованияРоссийскойФедерации
Московский Государственный ТехническийУниверситет“МАМИ”
Кафедра:
“Бухгалтерскийучет и финансыпредприятий”
КУРСОВАЯРАБОТА
покурсу
“СТАТИСТИКА”
натему:
«Корреляционно-регрессионыйанализ
зависимостиработающихактивов
откапитала попоказателям32 банков»
Студенткигруппы 4-ЭФЭ-4
РевняковойО.В.
Руководитель:Ковалева О.Б.
Москва-2002
План
I.Введение(“Что такоестатистика?”;факты из истории)
II.Основная часть
1) Причинно-следственнаясвязь.
2) Функциональныеи стохастическиесвязи.
Прямыеи обратныесвязи.
Прямолинейныеи криволинейныесвязи.
Однофакторныеи многофакторныесвязи.
Статистическиеметоды моделированиясвязи.
Статистическоемоделированиесвязи методомкорреляционногои регрессионногоанализа.
Двухмернаялинейная моделькорреляционногои регрессионногоанализа.
5) Проверкаадекватностирегрессионноймодели.
6)Экономическаяинтерпретацияпараметроврегрессии.
III. Заключение
IV. Списоклитературы
Введение
Слово“статистика”приходит отлатинскогослова status (состояние),которое употреблялосьв значении“политическоесостояние”.Отсюда итальянскиеслова stato – государствои statista – знатокгосударств,отсюда такжеи немецкоеслово Staat и английскоеstate. В научныйоборот слово“статистика”ввёл профессорГеттингенскогоуниверситетаГотфрид Ахенваль(1719 - 1772), и понималосьоно тогда какгосударствоведение.
Преждечем стать наукойв ее современномпониманиистатистикапрошла многовековуюисторию развития.
Числовыеданные, относящиесяк тем или инымявлениям, началиприменятьсяуже в глубокойдревности. Так,известно, чтоеще за 5 тысячлет до нашейэры проводилсяподсчёт населенияв Китае, вёлсяучет имуществав Древнем Риме,в средние векапроводилисьпереписи населения,домашнегоимущества,земель. Этисведенияиспользовалисьв основном ввоенных целяхи при обложенииналогами. Встоль отдаленныевремена осуществлялсялишь сборстатистическихсведений, а ихобработку ианализ, то естьзарождениестатистикикак науки следуетотнести ковторой половине17 века. Именнов это времяпрофессорфизиологиии права Г. Ахенвальс 1746 года началчитать впервыев Марбургском,а затем в Геттингенскомуниверситетахновую учебнуюдисциплину,которую он иназвал статистикой.Основным содержаниемэтого курсабыло описаниеполитическогосостояния идостопримечательностейгосударства.
Этонаправлениеразвития статистикиполучило названиеописательного.Содержание,задачи, предметизучения статистикив пониманииГ. Ахенвалябыли далекиот современноговзгляда настатистикукак науку.
Гораздоближе к современномупониманиюстатистикибыла английскаяшколаполитическихарифметиков,которая возниклана 100 лет раньшенемецкой описательнойшколы, ее основателямибыли В. Петти(1623-1687гг.) и Дж. Граунт(1620-1674 гг.). Политическиеарифметикипутём обобщенияи анализа фактовстремилисьцифрами охарактеризоватьсостояние иразвитие общества,показатьзакономерностиразвития общественныхявлений, проявляющихсяв массовомматериале.История показала,что именношкола политическихарифметиковявилась истокомвозникновениясовременнойстатистикикак науки. В.Петти по правусчитаетсясоздателемэкономическойстатистики.
Впервой половине19 века возниклотретье направлениестатистическойнауки –статистико-математическое. Среди представителейэтого направленияследует отметитьбельгийскогостатистикаА. Кетле (1796-1874 гг.)– основоположникаучения о среднихвеличинах.Математическоенаправлениев статистикеразвивалосьв работах англичанФ. Гальтона(1822-1911 гг.) и К. Пирсона(1857-1936 гг.), В. Госсета(1876-1937 гг.), болееизвестногопод псевдонимомСтьюдента, Р.Фишера (1890-1962 гг.),М. Митчела (1874-1948гг.) и др. Представителиэтого направлениясчитали основойстатистикитеорию вероятностей,составляющуюодну из отраслейприкладнойматематики.
Вразвитии российскойстатистическойнауки и практикивидное местопринадлежитИ.К. Кириллову(1689-1737 гг.), И.Ф. Герману(1755-1815 гг.), Д.Н. Журавскому(1810-1856 гг.), Н.Н. Семенову-Тян-Шанскому(1827-1914 гг.), Ю.Э. Янсону(1835-1893), А.. Чупрову(1874-1926 гг.), В.С. Немчинову(1894-1964 гг.), С.Г. Струмилину(1877-1974 гг.), В.Н. Старовскому(1905-1975 гг.) и др.
Большимшагом в развитиистатистическойнауки послужилоприменениеэкономико-математическихметодов и широкоеиспользованиекомпьютернойтехники в анализесоциально-экономическихявлений.
Внастоящее времяведется работапо совершенствованиюстатистическойметодологиии завершениюперехода РоссийскойФедерации напринятую вмеждународнойпрактике системуучёта и статистикев соответствиис требованиямиразвития рыночнойэкономики.
Такимобразом, историяразвития статистикипоказывает,что статистическаянаука сложиласьв результатетеоретическогообобщениянакопленногочеловечествомпередовогоопыта учётно-статистическихработ, обусловленныхпрежде всегопотребностямиуправленияжизни общества.
Развитиестатистическойнауки, расширениесферы примененияпрактическихстатистическихисследований,ее активноеучастие в механизмеуправленияэкономикойпривели к изменениюсодержаниясамого понятия“статистика”.
Сейчастермин “статистика”употребляетсяв трёх значениях:
Отрасльпрактическойдеятельности(“статистическийучёт”) по сбору,обработке,анализу и публикациимассовых цифровыхданных о самыхразличныхявлениях ипроцессахобщественнойжизни; этудеятельностьна профессиональномуровне осуществляетгосударственнаястатистика– Государственныйкомитет постатистикеРоссийскойФедерации исистема егоучреждений,организованныхпо административно-территориальномупризнаку, атакже ведомственнаястатистика(на предприятиях,в объединениях,ведомствах,министерствах);
Совокупностьцифровых сведений,статистическиеданные,предоставляемыев отчетностипредприятий,организаций,отраслей экономики,а также публикуемыев сборниках,справочниках,периодическойпрессе, которыеявляются результатомстатистическойработы;
Отрасльобщественныхнаук, специальнаянаучная дисциплина,изучаемая ввысших и среднихспециальныхучреждениях.
Цельстатистикив экономике– это возможностьправильновыбрать решенияв условияхнеопределенностисложившейсяситуации, умениеспрогнозироватьи предугадатьсоциально-экономическиеявления, сделатьправильныевыводы и внестисвой вклад вразвитиеэкономическойжизни.
Выявлениевзаимосвязей– одна из важнейшихзадач применениястатистикив экономике.
Всвоей работея рассмотрюкорреляционно-регрессионныйметод выявлениявзаимосвязии проиллюстрируюего на примеревзаимосвязикапитала иработающихактивов 32 банков.
Причинно-следственнаясвязь.
Исследованиеобъективносуществующихсвязей междуявлениями –важнейшаязадача общейтеории статистики.В процессестатистическогоисследованиязависимостейвскрываютсяпричинно-следственныеотношения междуявлениями, чтопозволяетвыявлять факторы(признаки),оказывающиесущественноевлияние навариацию изучаемыхявлений и процессов.Причинно-следственныеотношения –это связь явленийи процессов,когда изменениеодного и них– причины –ведет к изменениюдругого – следствия.
Причина– это совокупностьусловий, обстоятельств,действие которыхприводит кпоявлениюследствия. Еслимежду явлениямидействительносуществуютпричинно-следственныеотношения, тоэти условиядолжны обязательнореализовыватьсявместе с действиемпричин. Причинныесвязи носятвсеобщий имногообразныйхарактер, и дляобнаруженияпричинно-следственныхсвязей необходимоотбирать отдельныеявления и изучатьих изолированно.
Особоезначение приисследованиипричинно-следственныхсвязей имеетвыявлениевременнойпоследовательности:причина всегдадолжна предшествоватьследствию,однако не каждоепредшествующеесобытие следуетсчитать причиной,а последующееследствием.
В реальнойсоциально-экономическойдействительностипричину и следствиенеобходиморассматриватькак смежныеявления, появлениекоторых обусловленокомплексомсопутствующихболее простыхпричин и следствий.Между сложнымигруппами причини следствийвозможнымногозначительныесвязи, когдаза одной причинойбудет следоватьто одно, то другоедействие илиодно действиеимеет несколькоразличныхпричин. Чтобыустановитьоднозначнуюпричинную связьмежду явлениямиили предсказатьвозможныеследствияконкретнойпричины, необходимаполная абстракцияот всех прочихявлений в исследуемойвременной илипространственнойсреде. Теоретическитакая абстракциявоспроизводится.Приемы абстракциичасто применяютсяпри изучениивзаимосвязеймежду двумяпризнаками(парной корреляции).Но чем сложнееизучаемыеявления, темтруднее выявитьпричинно-следственныесвязи междуними. Взаимноепереплетениеразличныхвнутреннихи внешних факторовнеизбежноприводит кнекоторымошибкам в определениипричины и следствия.
Социально-экономическиеявления представляютсобой результатодновременноговоздействиябольшого числапричин. Следовательно,при изученииэтих явленийнеобходимовыявлять главные,основный причины,абстрагируясьот второстепенных.
Воснове первогоэтапа статистическогоизучения связилежит качественныйанализ изучаемогоявления, связанныйс анализомприроды, социальногоили экономическогоявления методамиэкономическойтеории, социологии,конкретнойэкономики.Второй этап– построениемодели связи.Он базируетсяна методахстатистики:группировках,средних величинах,таблицах и т.д.Третий, последнийэтап – интерпретациярезультатов– вновь связанс качественнымиособенностямиизучаемогоявления.
Статистикаразработаламножествометодов изучениясвязей, выборкоторых зависитот целей исследованияи от поставленныхзадач. Связимежду признакамии явлениями,ввиду их большогоразнообразия,классифицируютсяпо ряду оснований.Признаки поих значениюдля изучениявзаимосвязиделятся на 2класса. Признаки,обуславливающиеизменениядругих, связанныхс ними признаков,называютсяфакторными,или простофакторами.Признаки,изменяющиесяпод действиемфакторныхпризнаков,являютсярезультативными.Связи междуявлениями иих признакамиклассифицируютсяпо степенитесноты связи,направлениюи аналитическомувыражению.
Функциональныеи стохастическиесвязи.
Междуразличнымиявлениями иих признакаминеобходимопрежде всеговыделить 2 типасвязей: функциональную(жестко детерминированную)и статистическую(стохастическидетерминированную).
В соответствиис жестко детерминистическимпредставлениемо функционированииэкономическихсистем необходимостьи закономерностьоднозначнопроявляютсяв каждом отдельномявлении, тоесть любоедействие вызываетстрого определенныйрезультат;случайными(непредвиденнымизаранее) воздействиямипри этом пренебрегают.Поэтому призаданных начальныхусловиях состояниетакой системыможет бытьопределенос вероятностью,равной 1. Разновидностьютакой закономерностиявляетсяфункциональнаясвязь.
Связьпризнака ус признакомх называетсяфункциональной,если каждомувозможномузначению независимогопризнака хсоответствует1 или несколькострого определенныхзначений зависимогопризнака у.Определениефункциональнойсвязи можетбыть легкообобщено дляслучая многихпризнаков х1,х2…хn .
Характернойособенностьюфункциональныхсвязей являетсято, что в каждомотдельномслучае известенполный переченьфакторов,определяющихзначение зависимого(результативного)признака, атакже точныймеханизм ихвлияния, выраженныйопределеннымуравнением.
Функциональнуюсвязь можнопредставитьуравнением:
yi=(xi),
где yi - результативныйпризнак ( i = 1, …, n);
f(xi)- известнаяфункция связирезультативногои факторногопризнаков;
xi - факторныйпризнак.
В реальнойобщественнойжизни ввидунеполнотыинформациижестко детерминированнойсистемы, можетвозникнутьнеопределенность,из-за которойэта системапо своей природедолжна рассматриватьсякак вероятностная,при этом связьмежду признакамистановитсястахостической.
Стахостическаясвязь – этосвязь междувеличинами,при которойодна из них,случайнаявеличина у,реагирует наизменениедругой величиных или другихвеличин х1,х2…хn (случайныхили неслучайных)изменениемзакона распределения.Это обуславливаетсятем, что зависимаяпеременная(результативныйпризнак), кромерассматриваемыхнезависимых,подверженавлиянию ряданеучтенныхили неконтролируемых(случайных)факторов, атакже некоторыхнеизбежныхошибок измеренияпеременных.Посколькузначения зависимойпеременнойподверженыслучайномуразбросу, онине могут бытьпредсказаныс достаточнойточностью, атолько указаныс определеннойвероятностью.
Характернойособенностьюстахостическихсвязей являетсято, что онипроявляютсяво всей совокупности,а не в каждойее единице.Причём неизвестенни полный переченьфакторов,определяющихзначениерезультативногопризнака, ниточный механизмих функционированияи взаимодействияс результативнымпризнаком.Всегда имеетместо влияниеслучайного.Появляющиесяразличныезначения зависимойпеременной– реализацияслучайнойвеличины.
Модельстохастическойсвязи можетбыть представленав общем видеуравнением:
ŷi= (xi)+ i,
где ŷi - расчётноезначениерезультативногопризнака;
f(xi)- часть результативногопризнака,сформировавшаясяпод воздействиемучтенных известныхфакторныхпризнаков(одногоили множества),находящихсяв стахостическойсвязи с признаком;
i- часть результативногопризнака, возникшаяв следствиедействиянеконтролируемыхили неучтенныхфакторов, атакже измеренияпризнаков,неизбежносопровождающегосянекоторымислучайнымиошибками.
Проявлениестохастическихсвязей подверженодействию законабольших чисел:лишь в достаточнобольшом числеединиц индивидуальныеособенностисгладятся,случайностивзаимопогасятся,и зависимость,если она имеетсущественнуюсилу, проявитсядостаточноотчётливо.
Корреляционнаясвязь существуеттам, где взаимосвязанныеявления характеризуютсятолько случайнымивеличинами.При такой связисреднее значение(математическоеожидание) случайнойвеличинырезультативногопризнака узакономерноизменяетсяв зависимостиот изменениядругой величиных или другихслучайныхвеличин х1,х2…хn. Корреляционнаясвязь проявляетсяне в каждомотдельномслучае, а вовсей совокупностив целом. Толькопри достаточнобольшом количествеслучаев каждомузначению случайногопризнака хбудет соответствоватьраспределениесредних значенийслучайногопризнака у. Наличие корреляционныхсвязей присущемногим общественнымявлениям.
Корреляционнаясвязь – понятиеболее узкое,чем стохастическаясвязь. Последняяможет отражатьсяне только визменениисредней величины,но и в вариацииодного признакав зависимостиот другого, тоесть любойдругой характеристикивариации. Такимобразом, корреляционнаясвязь являетсячастным случаемстохастическойсвязи.
Прямыеи обратныесвязи. В зависимостиот направлениядействия,функциональныеи стахостическиесвязи могутбыть прямыеи обратные. Припрямой связинаправлениеизменениярезультативногопризнака совпадаетс направлениемизмененияпризнака-фактора,то есть с увеличениемфакторногопризнакаувеличиваетсяи результативный,и, наоборот, суменьшениемфакторногопризнака уменьшаетсяи результативныйпризнак. В противномслучае междурассматриваемымивеличинамисуществуютобратные связи.Например, чемвыше квалификациярабочего (разряд),тем выше уровеньпроизводительноститруда – прямаясвязь. А чемвыше производительностьтруда, тем нижесебестоимостьединицы продукции– обратнаясвязь.
Прямолинейныеи криволинейныесвязи. Поаналитическомувыражению(форме) связимогут бытьпрямолинейнымии криволинейными.При прямолинейнойсвязи с возрастаниемзначения факторногопризнака происходитнепрерывноевозрастание(или убывание)значенийрезультативногопризнака.Математическитакая связьпредставляетсяуравнениемпрямой, а графически– прямой линией.Отсюда ее болеекороткое название– линейнаясвязь. Прикриволинейныхсвязях с возрастаниемзначения факторногопризнака возрастание(или убывание)результативногопризнака происходитнеравномерно,или же направлениеего измененияменяется наобратное.Геометрическитакие связипредставляютсякривыми линиями(гиперболой,параболой ит.д.).
Однофакторныеи многофакторныесвязи. По количествуфакторов, действующихна результативныйпризнак, связиразличаются:однофакторные(один фактор)и многофакторные(два и болеефакторов).Однофакторные(простые) связиобычно называютсяпарными (т.к.рассматриваетсяпара признаков).Например,корреляционнаясвязь междуприбылью ипроизводительностьютруда. В случаемногофакторной(множественной)связи имеютв виду, что всефакторы действуюткомплексно,то есть одновременнои во взаимосвязи.Например,корреляционнаясвязь междупроизводительностьютруда и уровнеморганизациитруда, автоматизациипроизводства,квалификациирабочих, производственнымстажем, простоямии другими факторнымипризнаками.С помощьюмножественнойкорреляцииможно охватитьвесь комплексфакторныхпризнаков иобъективноотразить существующиемножественныесвязи.
Статистическиеметоды моделированиясвязи.
Для исследованиястохастическихсвязей широкоиспользуетсяметод сопоставлениядвух параллельныхрядов, методаналитическихгруппировок,корреляционныйанализ, регрессионныйанализ и некоторыенепараметрическиеметоды.
Методсопоставлениядвух параллельныхрядов являетсяодним из простейшихметодов. Дляэтого факторы,характеризующиерезультативныйпризнак располагаютв возрастающемили убывающемпорядке (взависимостиот эволюциипроцесса и целиисследования),а затем прослеживаютизменениевеличинырезультативногопризнака.Сопоставлениеи анализ расположенныхтаким образомрядов значенийизучаемыхвеличин позволяютустановитьналичие связии ее направление.Зависимостьмежду факторамии показателямиможет прослеживатьсяво времени(параллельныединамическиеряды).
Методаналитическихгруппировок тоже относитсяк простейшимметодам. Чтобывыявить зависимостьс помощью этогометода, нужнопроизвестигруппировкуединиц совокупностипо факторномупризнаку и длякаждой группывычислитьсреднее илиотносительноезначениерезультативногопризнака. Сопоставляязатем изменениярезультативногопризнака помере измененияфакторногоможно выявитьнаправление,характер итесноту связимежду ними.
В общемвиде задачастатистикив области изучениявзаимосвязейсостоит нетолько в количественнойоценке их наличия,направленияи силы связи,но и в определенииформы (аналитическоговыражения)влияния факторныхпризнаков нарезультативный.Для ее решенияприменяютметоды корреляционногои регрессионногоанализа.
Статистическоемоделированиесвязи методом
корреляционногои регрессионногоанализа.
Задачикорреляционногоанализа сводятсяк измерениютесноты известнойсвязи междуварьирующимипризнаками,определениюнеизвестныхпричинныхсвязей (причинныйхарактер которыхдолжен бытьвыяснен с помощьютеоретическогоанализа) и оценкифакторов, оказывающихнаибольшеевлияние нарезультативныйпризнак.
Задачамирегрессионногоанализа являютсявыбор типамодели (формысвязи), установлениестепени влияниянезависимыхпеременныхна зависимуюи определениерасчётныхзначений зависимойпеременной(функции регрессии).
Решениевсех названныхзадач приводитк необходимостикомплексногоиспользованияэтих методов.
Корреляционныйи регрессионныйанализ. Исследованиесвязей в условияхмассовогонаблюденияи действияслучайныхфакторовосуществляется,как правило,с помощьюэкономико-статистическихмоделей. В широкомсмысле модель– это аналог,условный образ(изображение,описание, схема,чертёж и т.п.)какого-либообъекта, процессаили события,приближенновоссоздающий«оригинал».Модель представляетсобой логическоеили математическоеописание компонентови функций,отображающихсущественныесвойствамоделируемогообъекта илипроцесса, даётвозможностьустановитьосновныезакономерностиизмененияоригинала. Вмодели оперируютпоказателями,исчисленнымидля качественнооднородныхмассовых явлений(совокупностей).Выражение имодели в видефункциональныхуравненийиспользуютдля расчётасредних значениймоделируемогопоказателяпо набору заданныхвеличин и длявыявлениястепени влиянияна него отдельныхфакторов.
По количествувключаемыхфакторов моделимогут бытьоднофакторнымии многофакторными(два и болеефакторов).
В зависимостиот познавательнойцели статистическиемодели подразделяютсяна структурные,динамическиеи модели связи.
Двухмернаялинейная моделькорреляционногои регрессионногоанализа (однофакторныйлинейныйкорреляционныйи регрессионныйанализ). Наиболееразработаннойв теории статистикиявляется методологиятак называемойпарной корреляции,рассматривающаявлияние вариациифакторногоанализа х нарезультативныйпризнак у ипредставляющаясобой однофакторныйкорреляционныйи регрессионныйанализ. Овладениетеорией и практикойпостроенияи анализа двухмерноймодели корреляционногои регрессионногоанализа представляетсобой исходнуюоснову дляизучениямногофакторныхстохастическихсвязей.
Важнейшимэтапом построениярегрессионноймодели (уравнениярегрессии)является установлениев анализе исходнойинформацииматематическойфункции. Сложностьзаключаетсяв том, что измножествафункций необходимонайти такую,которая лучшедругих выражаетреально существующиесвязи междуанализируемымипризнаками.Выбор типовфункции можетопираться натеоретическиезнания об изучаемомявлении, опятпредыдущиханалогичныхисследований,или осуществлятьсяэмпирически– перебороми оценкой функцийразных типови т.п.
При изучениисвязи экономическихпоказателейпроизводства(деятельности)используютразличноговида уравненияпрямолинейнойи криволинейнойсвязи. Вниманиек линейнымсвязям объясняетсяограниченнойвариациейпеременныхи тем, что вбольшинствеслучаев нелинейныеформы связидля выполнениярасчётов преобразуют(путём логарифмированияили заменыпеременных)в линейнуюформу. Уравнениеоднофакторной(парной) линейнойкорреляционнойсвязи имеетвид:
ŷ = a0+ a1x ,
где ŷ -теоретическиезначениярезультативногопризнака, полученныепо уравнениюрегрессии;
a0, a1 - коэффициенты(параметры)уравнениярегрессии.
Посколькуa0 являетсясредним значениему в точке х=0,экономическаяинтерпретациячасто затрудненаили вообщеневозможна.
Коэффициентпарной линейнойрегрессии a1 имеет смыслпоказателясилы связимежду вариациейфакторногопризнака хи вариациейрезультативногопризнака у.Вышеприведенноеуравнениепоказываетсреднее значениеизменениярезультативногопризнака упри изменениифакторногопризнака хна одну единицуего измерения,то есть вариациюу, приходящуюсяна единицувариации х.Знак a1 указываетнаправлениеэтого изменения.
Параметрыуравнения a0, a1 находятметодом наименьшихквадратов(метод решениясистем уравнений,при которомв качестверешения принимаетсяточка минимумасуммы квадратовотклонений),то есть в основуэтого методаположено требованиеминимальностисумм квадратовотклоненийэмпирическихданных yiот выравненныхŷ :
(yi– ŷ)2 = (yi– a0 – a1xi)2 min
Для нахожденияминимума даннойфункции приравняемк нулю ее частныепроизводныеи получим системудвух линейныхуравнений,которая называетсясистемойнормальныхуравнений:
.
Р
ешимэту системув общем виде:
П
араметрыуравненияпарной линейнойрегрессиииногда удобноисчислять последующимформулам, дающимтот же результат:
Определивзначения a0, a1 и подставивих в уравнениесвязи ŷ = a0+ a1x , находимзначения ŷ ,зависящиетолько от заданногозначения х.
Рассмотримпостроениеоднофакторногоуравнениярегрессиизависимостиработающихактивов у откапитала х(см. приложение,таблица 1).
Здесьпредставленыпоказатели32 банков: размеркапитала иработающихактивов. Передомной стоитзадача определить,есть ли зависимостьмежду этимидвумя признакамии, если онасуществует,определитьформу этойзависимости,то есть уравнениерегрессии.
За факторныйпризнак я взяларазмер капиталабанка, а зарезультативныйпризнак – работающиеактивы.
Сопоставлениеданных параллельныхрядов признаковх и у показывает,что с убываниемпризнака х(капитал), вбольшинствеслучаев убываети признак у(работающиеактивы).
Следовательно,можно предположить,что между хи у существуетпрямая зависимость,пусть неполная,но выраженнаядостаточноясно.
Для уточненияформы связимежду рассматриваемымипризнакамия использовалаграфическийметод. Я нанеслана график точки,соответствующиезначениям хи у, и получилакорреляционноеполе (см. приложение,график 1).
Анализируяполе корреляции,можно предположить,что возрастаниепризнака уидет пропорциональнопризнаку х.В основе этойзависимостилежит прямолинейнаясвязь, котораяможет бытьвыражена простымлинейным уравнениемрегрессии:
ŷ = a0+ a1x,
где ŷ -теоретическиерасчётныезначениярезультативногопризнака (работающиеактивы), полученныепо уравнениюрегрессии;
a0, a1 - коэффициенты(параметры)уравнениярегрессии;
х – капиталисследуемыхбанков.
Пользуясьвышеуказаннымиформулами длявычисленияпараметровлинейногоуравнениярегрессии ирасчётнымизначениямииз таблицы1, получаем:
Следовательно,регрессионнаямодель зависимостиработающихактивов откапитала банковможет бытьзаписана в видеконкретногопростого уравнениярегрессии:
.Это уравнениехарактеризуетзависимостьработающихактивов откапитала банка.Расчётныезначения ŷ, найденные поэтому уравнению,приведены втаблице 1.Правильностьрасчёта параметровуравнениярегрессии можетбыть проверенасравниваниемсумм ∑у = ∑ŷ . Вмоем случаеэти суммы равны.
Но длятого, чтобыприменить моюформулу, надорассчитать,насколько онаприближеннак реальности,то есть проверитьее адекватность.
Проверкаадекватностирегрессионноймодели.
Для практическогоиспользованиямоделей регрессиибольшое значениеимеет их адекватность,т.е. соответствиефактическимстатистическимданным.
Корреляционныйи регрессионныйанализ обычно(особенно вусловиях такназываемогомалого и среднегобизнеса) проводитсядля ограниченнойпо объёмусовокупности.Поэтому показателирегрессии икорреляции– параметрыуравнениярегрессии,коэффициентыкорреляциии детерминациимогут бытьискажены действиемслучайныхфакторов. Чтобыпроверить,насколько этипоказателихарактерныдля всей генеральнойсовокупности,не являютсяли они результатомстечения случайныхобстоятельств,необходимопроверитьадекватностьпостроенныхстатистическихмоделей.
При численностиобъектов анализадо 30 единицвозникаетнеобходимостьпроверки значимости(существенности)каждого коэффициентарегрессии. Приэтом выясняютнаскольковычисленныепараметрыхарактерныдля отображениякомплексаусловий: неявляются липолученныезначения параметроврезультатамидействия случайныхпричин.
Значимостькоэффициентовпростой линейнойрегрессии(применительнок совокупностям,у которых n
д
ляпараметра a0:
дляпараметра a1:
г
деn - объём выборки;
- среднееквадратическоеотклонениерезультативногопризнака отвыравненныхзначений ŷ ;
или 
- среднееквадратическоеотклонениефакторногопризнака xот общей средней
.Вычисленныепо вышеприведеннымформулам значениясравниваютс критическимиt , которыеопределяютпо таблицеСтьюдента сучетом принятогоуровня значимости α и числомстепеней свободывариации
.В социально-экономическихисследованияхуровень значимостиα обычнопринимаютравным 0,05. Параметрпризнаётсязначимым(существенным)при условии,если tрасч>tтабл. В таком случаепрактическиневероятно,что найденныезначения параметровобусловленытолько случайнымисовпадениями.Т
еперья рассчитаюt-критерийСтьюдента длямоей моделирегрессии.
- это средниеквадратическиеотклонения.
Расчетныезначения t-критерияСтьюдента:
По таблицераспределенияСтьюдента янахожу критическоезначение t-критериядля ν= 32-2 = 30 . Вероятностьα я принимаю0,05. tтаблравно 2,042. Так как,оба значенияta0 и ta1больше tтабл, то оба параметраа0 и а1признаютсязначимыми иотклоняетсягипотеза о том,что каждый изэтих параметровв действительностиравен 0 , и лишьв силу случайныхобстоятельствоказался равнымпроверяемойвеличине.
Проверкаадекватностирегрессионноймодели можетбыть дополненакорреляционныманализом. Дляэтого необходимоопределитьтесноту корреляционнойсвязи междупеременнымих и у. Теснотакорреляционнойсвязи, как илюбой другой,может бытьизмерена эмпирическимкорреляционнымотношениемηэ , когдаδ2 (межгрупповаядисперсия)характеризуетотклонениягрупповыхсредних результативногопризнака отобщей средней:
.Говоряо корреляционномотношении како показателеизмерениятесноты зависимости,следует отличатьот эмпирическогокорреляционногоотношения –теоретическое.
Теоретическоекорреляционноеотношение ηпредставляетсобой относительнуювеличину,получающуюсяв результатесравнениясреднегоквадратическогоотклонениявыравненныхзначенийрезультативногопризнака δ,то есть рассчитанныхпо уравнениюрегрессии, сосредним квадратическимотношениемэмпирических(фактических)значенийрезультативностипризнака σ:
,где
; 
.Тогда
.Изменениезначения ηобъясняетсявлиянием факторногопризнака.
В основерасчёта корреляционногоотношения лежитправило сложениядисперсий, тоесть
,где 
- отражаетвариацию уза счёт всехостальныхфакторов, кромех , то есть являютсяостаточнойдисперсией: 
.Тогдаформула теоретическогокорреляционногоотношенияпримет вид:
,или
.Подкоренноевыражениекорреляционноговыраженияпредставляетсобой коэффициентдетерминации(мера определенности,причинности).
Коэффициентдетерминациипоказываетдолю вариациирезультативногопризнака подвлиянием вариациипризнака-фактора.
Теоретическоекорреляционноевыражениеприменяетсядля измерениятесноты связипри линейнойи криволинейнойзависимостяхмежду результативными факторнымпризнаком.
Как видноиз вышеприведенныхформул корреляционноеотношение можетнаходитьсяот 0 до 1. Чем ближекорреляционноеотношение к1, тем связь междупризнакамитеснее.
Теоретическоекорреляционноеотношениеприменительнок моему анализуя рассчитаюдвумя способами:
Полученноезначениетеоретическогокорреляционногоотношениясвидетельствуето возможномналичиисреднестатистическойсвязи междурассматриваемымипризнаками.Коэффициентдетерминацииравен 0,62. Отсюдая заключаю, что62% общей вариацииработающихактивов изучаемыхбанков обусловленовариациейфактора – капиталабанков (а 38% общейвариации нельзяобъяснитьизменениемразмера капитала).
Крометого, при линейнойформе уравненияприменяетсядругой показательтесноты связи– линейныйкоэффициенткорреляции:
,где n– число наблюдений.
Для практическихвычисленийпри малом численаблюдений(n≤20ч30) линейныйкоэффициенткорреляцииудобнее исчислятьпо следующейформуле:
.Значениелинейногокоэффициентакорреляцииважно дляисследованиясоциально-экономическихявлений и процессов,распределениекоторых близкок нормальному.Он принимаетзначения винтервале: -1≤r ≤ 1.
Отрицательныезначения указываютна обратнуюсвязь, положительные– на прямую.При r = 0линейная связьотсутствует.Чем ближе коэффициенткорреляциипо абсолютнойвеличине кединице, темтеснее связьмежду признаками.И, наконец, приr = ±1 – связьфункциональная.
Используяданные таблицы1 я рассчиталалинейный коэффициенткорреляцииr. Но чтобыиспользоватьформулу длялинейногокоэффициентакорреляциирассчитаемдисперсиюрезультативногопризнака σy:
Квадратлинейногокоэффициентакорреляцииr2 называетсялинейнымкоэффициентомдетерминации.Из определениякоэффициентадетерминацииочевидно, чтоего числовоезначение всегдазаключено впределах от0 до 1, то есть 0 ≤r2≤1. Степень теснотысвязи полностьюсоответствуеттеоретическомукорреляционномуотношению,которое являетсяболее универсальнымпоказателемтесноты связипо сравнениюс линейнымкоэффициентомкорреляции.
Фактсовпаденийи несовпаденийзначенийтеоретическогокорреляционногоотношения ηи линейногокоэффициентакорреляцииr используетсядля оценкиформы связи.
Вышеотмечалось,что посредствомтеоретическогокорреляционногоотношенияизмеряетсятеснота связилюбой формы,а с помощьюлинейногокоэффициентакорреляции– только прямолинейной.Следовательно,значения ηи r совпадаюттолько приналичии прямолинейнойсвязи. Несовпадениеэтих величинсвидетельствует,что связь междуизучаемымипризнакамине прямолинейная,а криволинейная.Установлено,что если разностьквадратов ηи r не превышает0,1 , то гипотезуо прямолинейнойформе связиможно считатьподтвержденной.В моем случаенаблюдаетсяпримерноесовпадениелинейногокоэффициентадетерминациии теоретическогокорреляционногоотношения, чтодает мне основаниесчитать связьмежду капиталомбанков и ихработающимиактивамипрямолинейной.
Показателитесноты связи,исчисленныепо даннымсравнительнонебольшойстатистическойсовокупности,могут искажатьсядействиемслучайныхпричин. Этовызываетнеобходимостьпроверки ихсущественности,дающей возможностьраспространятьвыводы по результатамвыборки нагенеральнуюсовокупность.
Для оценкизначимостикоэффициентакорреляцииr используютt-критерийСтьюдента,который применяетсяпри t-распределении,отличном отнормального.
При линейнойоднофакторнойсвязи t-критерийможно рассчитатьпо формуле:
,где (n- 2) – число степенейсвободы призаданном уровнезначимостиα и объеме выборкиn.
Полученноезначение tрасчсравниваютс табличнымзначениемt-критерия(для α = 0,05 и 0,01). Еслирассчитанноезначение tрасчпревосходиттабличноезначение критерияtтабл,то практическиневероятно,что найденноезначение обусловленотолько случайнымиколебаниями(то есть отклоняетсягипотеза о егослучайности).
Так, длякоэффициентакорреляциимежду капиталоми работающимиактивами получается:
Если сравнитьполученноеtрасч скритическимзначением изтаблицы Стьюдента,где ν=30, а α=0,01(tтабл=2,750),то полученноезначение t-критериябудет большетабличного,что свидетельствуето значимостикоэффициентакорреляциии существеннойсвязи междукапиталом иработающимиактивами.
Такимобразом, построеннаярегрессионнаямодель ŷ=245,75+1,42x в целом адекватна,и выводы полученныепо результатаммалой выборкиможно с достаточнойвероятностьюраспространитьна всю гипотетическуюгенеральнуюсовокупность.
Экономическаяинтерпретацияпараметроврегрессии.
Послепроверкиадекватности,установленияточности инадежностипостроенноймодели (уравнениярегрессии), еенеобходимопроанализировать.Прежде всегонужно проверить,согласуютсяли знаки параметровс теоретическимипредставлениямии соображениямио направлении влияния признака-факторана результативныйпризнак (показатель).
В рассмотренномуравненииŷ=245,75+1,42х , характеризующемзависимостьразмера работающихактивов (у)от капиталовбанков (х), параметра1>0. Следовательно,с возрастаниемразмера капиталабанка размерработающихактивов увеличивается.
Из уравненияследует, чтовозрастаниекапитала банкана 1 млн рублейприводит кувеличениюработающихактивов в среднемна 1,4 млн рублей(величину параметраа1).
Для удобстваинтерпретациипараметра a1используюткоэффициентэластичности.Он показываетсредние изменениярезультативногопризнака приизменениифакторногопризнака на1% и вычисляетсяпо формуле, %:
.В представленноманализе деятельностибанков этавеличина равна:
Это означает,что с увеличениемразмера капиталана 1% следуетожидать повышенияразмера работающихактивов банковв среднем на0,78% .
Этот выводсправедливтолько дляданной совокупностибанков приконкретныхусловиях ихдеятельности.
Если жеэти банки иусловия считатьтипичными, токоэффициентрегрессии можетбыть применендля расчетаразмера работающихактивов по ихкапиталу и длядругих банков.
Имеетсмысл вычислитьостатки εi= y– ŷ, характеризующиеотклонениеi-х наблюденийот значений,которые следуетожидать в среднем.
Анализируяостатки, можносделать рядвыводов одеятельностибанков. Значенияостатков (таблица1, графа 8) имеюткак положительные,так и отрицательныеотклоненияот ожидаемого.Таким образомвыявляютсябанки, которыевкладываютбольше денежныхсредств в оборот(положительныезначения), ибанки, предпочитающиепускать в оборотнебольшую частьсвоих денежныхсредств (отрицательныезначения остатков).
В итогеположительныеотклоненияразмеров работающих активов уравновешиваютсяотрицательнымизначениями,то есть получается∑εi=0.
Такимобразом, в даннойработе я установилакорреляционнуюзависимость показателей32 российскихбанков, провеларегрессионныйанализ и нашларегрессионнуюмодель даннойвзаимосвязипоказателей.
Полученноеуравнениеŷ=245,75+1,42х позволяетпроиллюстрироватьзависимостьразмера работающихактивов банковот размера ихкапитала.
А такжея провериламою модель наадекватностьпо критериюСтьюдента,результатоказалсяположительным(модель адекватна,т.е. ее можноприменять), азатем далаэкономическуюоценку этоймодели.
И так, спомощьюкорреляционно-регрессионногоанализа, яисследовалапоказателибанков.
Списокиспользованнойлитературы:
«Теориястатистики»,учебник подред. Р.А. Шмойловой,
М.: Финансыи статистика,2000. - 510 с.
«Практикумпо теориистатистики».,под ред. Р.А.Шмойловой,
М.: Финансыи статистика,2001. - 456 с.
«Общая теориястатистики»И.И. Елисеева,М.М. Юзбашев,
М.: Финансыи статистика,2002. – 480 с.
«Теориястатистики»В.М. Гусаров,М.: ЮНИТИ, 2001. – 247 с.
Журнал «Профиль»,№ 12, 25 марта 2002 г.
Overview
Лист1Лист2
Лист3
Sheet 1: Лист1
| Банк | Капитал (млн.руб.) x | Раб./риск. активы (млн.руб.) y | x2 | y2 | xy | ŷ | y-ŷ | (y-ŷ)2 | y-y | (y-y)2 | ŷ-у | (ŷ-у)2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Славянский банк | 936 | 1545 | 876096 | 2387025 | 1446120 | 1571.40 | 26.40 | 697.04 | 454.03 | 206143.24 | 480.43 | 230814.48 |
| Локо-Банк | 877 | 1758 | 769129 | 3090564 | 1541766 | 1487.84 | -270.16 | 72986.25 | 667.03 | 444929.02 | 396.87 | 157506.06 |
| Союзобщемашбанк | 833 | 1075 | 693889 | 1155625 | 895475 | 1425.52 | 350.52 | 122866.71 | -15.97 | 255.04 | 334.55 | 111926.03 |
| БВТ | 823 | 1369 | 677329 | 1874161 | 1126687 | 1411.36 | 42.36 | 1794.42 | 278.03 | 77300.68 | 320.39 | 102650.11 |
| Финпромбанк | 805 | 966 | 648025 | 933156 | 777630 | 1385.87 | 419.87 | 176288.55 | -124.97 | 15617.50 | 294.90 | 86964.42 |
| Московско-Парижский | 750 | 1005 | 562500 | 1010025 | 753750 | 1307.97 | 302.97 | 91791.57 | -85.97 | 7390.84 | 217.00 | 47089.54 |
| Оптбанк | 748 | 1590 | 559504 | 2528100 | 1189320 | 1305.14 | -284.86 | 81145.98 | 499.03 | 249030.94 | 214.17 | 45868.21 |
| Ми-Банк | 730 | 1620 | 532900 | 2624400 | 1182600 | 1279.65 | -340.35 | 115841.25 | 529.03 | 279872.74 | 188.68 | 35598.41 |
| Интурбанк | 703 | 1423 | 494209 | 2024929 | 1000369 | 1241.41 | -181.59 | 32976.56 | 332.03 | 110243.92 | 150.44 | 22630.84 |
| БРП | 615 | 906 | 378225 | 820836 | 557190 | 1116.77 | 210.77 | 44424.76 | -184.97 | 34213.90 | 25.80 | 665.73 |
| Алеф-Банк | 613 | 817 | 375769 | 667489 | 500821 | 1113.94 | 296.94 | 88172.91 | -273.97 | 75059.56 | 22.97 | 527.59 |
| "Аверс" | 607 | 780 | 368449 | 608400 | 473460 | 1105.44 | 325.44 | 105912.16 | -310.97 | 96702.34 | 14.47 | 209.42 |
| "Первомайский" | 603 | 1277 | 363609 | 1630729 | 770031 | 1099.78 | -177.22 | 31408.23 | 186.03 | 34607.16 | 8.81 | 77.55 |
| Русский Банкирский Дом | 586 | 1426 | 343396 | 2033476 | 835636 | 1075.70 | -350.30 | 122710.54 | 335.03 | 112245.10 | -15.27 | 233.19 |
| "Электроника" | 570 | 1410 | 324900 | 1988100 | 803700 | 1053.04 | -356.96 | 127421.38 | 319.03 | 101780.14 | -37.93 | 1438.79 |
| Первый Республиканский | 551 | 1161 | 303601 | 1347921 | 639711 | 1026.13 | -134.87 | 18190.15 | 70.03 | 4904.20 | -64.84 | 4204.34 |
| "Снежинский" | 546 | 1208 | 298116 | 1459264 | 659568 | 1019.05 | -188.95 | 35702.98 | 117.03 | 13696.02 | -71.92 | 5172.82 |
| Национальный Банк Развития | 543 | 1355 | 294849 | 1836025 | 735765 | 1014.80 | -340.20 | 115736.86 | 264.03 | 69711.84 | -76.17 | 5802.05 |
| Меритбанк | 526 | 872 | 276676 | 760384 | 458672 | 990.72 | 118.72 | 14094.87 | -218.97 | 47947.86 | -100.25 | 10049.70 |
| ВКАБанк | 518 | 736 | 268324 | 541696 | 381248 | 979.39 | 243.39 | 59239.42 | -354.97 | 126003.70 | -111.58 | 12449.76 |
| Ланта-Банк | 511 | 1293 | 261121 | 1671849 | 660723 | 969.48 | -323.52 | 104666.84 | 202.03 | 40816.12 | -121.49 | 14760.44 |
| "Транснациональный" | 510 | 722 | 260100 | 521284 | 368220 | 968.06 | 246.06 | 60546.09 | -368.97 | 136138.86 | -122.91 | 15106.58 |
| "Адмиралтейский" | 510 | 678 | 260100 | 459684 | 345780 | 968.06 | 290.06 | 84135.48 | -412.97 | 170544.22 | -122.91 | 15106.58 |
| Центральное ОВК | 506 | 1072 | 256036 | 1149184 | 542432 | 962.40 | -109.60 | 12013.04 | -18.97 | 359.86 | -128.57 | 16531.28 |
| Российский Промышленный | 504 | 1209 | 254016 | 1461681 | 609336 | 959.56 | -249.44 | 62218.61 | 118.03 | 13931.08 | -131.41 | 17267.69 |
| "Смоленский" | 490 | 1001 | 240100 | 1002001 | 490490 | 939.74 | -61.26 | 3753.36 | -89.97 | 8094.60 | -151.23 | 22871.93 |
| АПР-Банк | 459 | 1268 | 210681 | 1607824 | 582012 | 895.83 | -372.17 | 138510.31 | 177.03 | 31339.62 | -195.14 | 38079.52 |
| СудКомБанк | 448 | 817 | 200704 | 667489 | 366016 | 880.25 | 63.25 | 4000.70 | -273.97 | 75059.56 | -210.72 | 44402.47 |
| "Военный" | 440 | 665 | 193600 | 442225 | 292600 | 868.92 | 203.92 | 41583.66 | -425.97 | 181450.44 | -222.05 | 49305.88 |
| "Золото-Платина" | 425 | 743 | 180625 | 552049 | 315775 | 847.68 | 104.68 | 10957.14 | -347.97 | 121083.12 | -243.29 | 59191.81 |
| "Андреевский" | 410 | 618 | 168100 | 381924 | 253380 | 826.43 | 208.43 | 43443.88 | -472.97 | 223700.62 | -264.54 | 69980.38 |
| Народный Банк Сбережений | 401 | 526 | 160801 | 276676 | 210926 | 813.69 | 287.69 | 82762.85 | -564.97 | 319191.10 | -277.28 | 76886.79 |
| Сумма | 19097 | 34911 | 12055479 | 41516175 | 21767209 | 34911 | 0 | 2107994.57 | 9.96 | 3429375.97 | 11.96 | 1321383.40 |
| Средние(сумма/кол-во банков) | 596.78 | 1090.97 | 376733.72 | 1297380.47 | 680225.28 |
Sheet 2: Лист2
 | |||||
Sheet 3: Лист3
| ч | е | р | н | о | в | и | к | ! |
| х | у | х2 | у2 | ху | ||||
| Сумма | 19097 | 34911 | 12055479 | 41516175 | 21767209 | |||
| SigX= | 143.48 | SigY= | 327.36 | |||||
| Коэф. Корреляции | 0.62 | Rxy= | 0.62 | SigOst= | 256.66 | |||
| a0 = | 245.75 | Сигма 1= | 0.62 | |||||
| a1 = | 1.42 | Сигма 2= | 0.62 | |||||
| Ta0 = | 5.24 | |||||||
| Ta1 = | 4.34 |