Обработка результатов эксперимента (стр. 1 из 3)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО СТАТИСТИКЕ
«Обработка результатов эксперимента»
Вариант №999
ВЫПОНИЛ: студент группы АТ–312
Литвинов Александр Владимирович
ПРОВЕРИЛ: Африкян Арсен Джуванович
ВОЛГОГРАД 2003
Исследования прочности 250 образцов бетона на сжатие образуют совокупность независимых и равноточных измерений случайной величины Х (МПа):
21,8
24,7
25,3
19,8
22,1
22,2
25,9
24,0
24,9
24,1
22,0
22,9
24,7
24,1
21,5
21,6
21,7
21,8
24,5
24,6
24,2
19,3
24,6
24,9
24,1
22,8
25,4
22,0
24,5
23,1
24,6
24,7
19,1
24,8
24,1
24,0
22,7
22,8
22,1
22,2
24,3
24,4
19,2
25,7
22,8
22,1
25,1
25,5
25,6
22,3
25,7
23,1
23,0
23,5
23,3
23,4
23,9
25,7
25,3
25,8
25,0
20,1
24,1
20,0
23,7
23,8
20,9
20,1
18,0
20,7
20,1
20,5
23,7
23,3
24,7
23,8
20,6
22,6
22,7
19,5
22,2
20,7
23,7
24,2
20,3
20,8
20,0
25,2
25,6
19,6
20,3
20,9
20,6
26,8
21,0
21,9
22,7
22,3
21,1
21,7
21,1
26,2
26,6
21,3
21,0
26,7
26,3
21,5
24,7
21,6
23,9
23,1
21,7
24,3
24,7
24,0
21,8
20,8
20,2
21,1
21,2
21,6
26,8
26,1
21,7
21,3
21,4
22,8
22,0
21,9
21,6
27,2
28,0
21,7
21,0
22,6
22,7
21,2
21,6
21,7
22,1
22,5
22,6
22,7
22,8
21,3
21,8
21,6
22,1
22,5
22,6
22,6
22,3
22,0
22,9
22,1
22,7
23,6
22,3
22,4
22,9
24,8
24,0
24,3
24,4
24,9
22,6
22,1
22,7
21,9
21,1
22,4
22,9
19,9
22,6
21,7
21,1
21,1
22,1
22,5
22,3
22,8
19,6
22,0
23,2
23,6
23,7
23,3
23,8
22,3
23,7
23,1
24,7
25,6
25,0
23,1
23,6
23,7
21,0
21,3
21,4
21,9
23,8
23,1
23,0
23,3
23,4
22,4
24,6
22,9
23,3
23,8
23,0
23,3
22,6
23,9
23,1
23,9
23,6
23,1
23,9
23,1
23,7
23,1
23,5
23,6
23,7
23,8
23,1
24,6
24,7
24,3
24,8
23,2
22,6
22,7
23,2
23,6
20,4
23,7
23,4
19,3
23,9
23,6
23,1
23,5
20,7
20,6
23,6
23,6
Требуется:
1. вычислить точечные оценки для математического ожидания, среднеквадратического отклонения, коэффициентов асимметрии и эксцесса;
2. составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот и построить гистограмму и полигон относительных частот;
3. найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график и график кумуляты;
4. исходя из общих представлений о механизме образования СВ Х, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и вычисленным числовым характеристикам, выдвинуть гипотезу о виде распределения СВ Х; записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения для выдвинутого гипотетического закона, заменяя параметры закона вычисленными для них оценками;
5. по критерию согласия χ2 Пирсона проверить соответствие выборочного распределения гипотетическому закону для уровня значимости q = 0,05;
6. вычислить интервальные оценки для математического ожидания и среднеквадратического отклонения, соответствующие доверительным вероятностям γ = 0,95 и γ = 0,99.
Решение:
Изучение непрерывных случайных величин начинается с группировки статистического материала, т. е. разбиения интервала наблюдаемых значений СВ Х на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания наблюдаемых значений СВ Х в частичные интервалы. Количество выбираем равным 10 (k = 10).
Разобьем весь диапазон значений на 10 интервалов (разрядов). Длину частичного интервала определим по формуле:
;Шкала интервалов и группировка исходных статистических данных сведены в таблицу. В результате получили статистический ряд распределения частот (
): | Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, МПа | [18;19) | [19;20) | [20;21) | [21;22) | [22;23) | [23;24) | [24;25) | [25;26) | [26;27) | [27;28] |
| Частота mi | 1 | 9 | 20 | 41 | 56 | 60 | 38 | 16 | 7 | 2 |
Для получения статистического ряда частостей разделим частоты mi на объем выборки n. В результате получим интервальный статистический ряд распределений частостей
: | Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, МПа | [18;19) | [19;20) | [20;21) | [21;22) | [22;23) | [23;24) | [24;25) | [25;26) | [26;27) | [27;28] |
| Частости mi/n | 0,004 | 0,036 | 0,080 | 0,164 | 0,224 | 0,240 | 0,152 | 0,064 | 0,028 | 0,008 |
| F* (x) (накопленные частости) | 0,004 | 0,040 | 0,120 | 0,284 | 0,508 | 0,748 | 0,900 | 0,964 | 0,992 | 1,000 |
Для построения гистограммы частостей на оси Ox откладываются частичные интервалы, на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная замкнутая линия образует полигон частостей. На рисунке 1 изображена гистограмма и полигон частостей.
Значения эмпирической функции распределения выписаны в последней строке статистического ряда распределения частостей. Запишем значения эмпирической функции распределения в аналитическом виде:
0, если x ≤ 18;0,004, если 18 < x ≤ 19;
0,04, если 19 < x ≤ 20;
0,12, если 20 < x ≤ 21;
0,284, если 21 < x ≤ 22;
F*(x) = 0,508, если 22 < x ≤ 23;
0,748, если 23 < x ≤ 24;
0,9, если 24 < x ≤ 25;
0,964, если 25 < x ≤ 26;
0,992, если 26 < x ≤ 27;
1, если 27 < x ≤ 28;
1, если x ≥ 28;
График эмпирической функции изображен на рисунке 2.
В тех случаях, когда наблюдаемые значения случайной величины задаются многозначными числами и объем выборки достаточно велик (n > 25), вначале целесообразно найти среднюю арифметическую по формуле
а за тем перейти к вычислению центральных моментов порядка k (k = 2, 3, 4): | Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, МПа | Середины интервалов xi | Частоты mi |  |  |  |  |
| [18;19) | 18,5 | 1 | -4,44 | 19,71 | -87,53 | 388,63 |
| [19;20) | 19,5 | 9 | -30,96 | 106,50 | -366,37 | 1260,31 |
| [20;21) | 20,5 | 20 | -48,80 | 119,07 | -290,54 | 708,91 |
| [21;22) | 21,5 | 41 | -59,04 | 85,02 | -122,43 | 176,29 |
| [22;23) | 22,5 | 56 | -24,64 | 10,84 | -4,77 | 2,10 |
| [23;24) | 23,5 | 60 | 33,60 | 18,82 | 10,54 | 5,90 |
| [24;25) | 24,5 | 38 | 59,28 | 92,48 | 144,26 | 225,05 |
| [25;26) | 25,5 | 16 | 40,96 | 104,86 | 268,44 | 687,19 |
| [26;27) | 26,5 | 7 | 24,92 | 88,72 | 315,83 | 1124,34 |
| [27;28] | 27,5 | 2 | 9,12 | 41,59 | 189,64 | 864,75 |
| Итого | 250 | 0 | 687,61 | 57,07 | 5443,47 | |
Следовательно,