Страхование жизни (стр. 9 из 10)

Теперь исчислим единовременную нетто-ставку по страхованию при тех же условиях, обозначив ее символом ₅А₄₀. Число умирающих на каждом году страхования, взятое из таблицы смертности, умножаем на соответствующие дисконтирующие множители и делим на число лиц, вступивших в страхование:

₅А₄₀=(374*0.97087+399*0.94260+427*0.91514+458*0.88849+492*0.86261)*100/92246= 2130 руб

Таким образом, страховая сумма составляет 100000 руб, ее страховая стоимость равна 2130 руб. При выплате по случаю смерти застрахованного все недостающие средства перераспределяются из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, к ним добавляется доход от процентов.

Представим формулу в общем виде:

где _пА_х - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет сроком на п лет.

d_x, d_x+1 ,..., d_x+п-1 - числа умирающих в течении срока страхования,

V - дисконтирующий множитель, S - страховая сумма.

Рассмотрим теперь принципы построения единовременных ставок по страхованию пенсии или ренты.

Страхование ренты - это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется уплачивать застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход. Одной из самых распространенных разновидностей такого страхования является страхование пенсии.

Страхование ренты бывает пожизненным или временным, немедленным или отсроченным, в зависимости оттого, выплачивается регулярный доход сразу после уплаты взносов или по истечении обусловленного периода.

Для вывода соответствующих формул применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховая организация обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасту х лет в течении всей его жизни ежегодно определенную денежную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 100000 руб. Предположим далее, что договоры заключили все лица в возрасте х лет. Тогда первая выплата будет произведена всем лицам lх немедленно после заключения договора страхования и составит l_х руб.

Во втором году будет выплачено l_х+1 руб. С момента заключения договора современная стоимость выплаты равна l_x+1V руб.

Современная стоимость выплаты третьего года равна l_x+2V² руб, четвертого - l_x+3V³, пятого и так далее. Последняя выплата будет спустя w-х лет, где w - предельный возраст таблицы смертности. Современная стоимость последней выплаты l_wV^w-x руб.

Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем lx лицам, выразится суммой:

l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_wV^w-x.

Чтобы получить современную стоимость взаимных обязательств страховщика и страхователя по отношению к одному лицу, то есть найти единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, то есть выплачиваемой застрахованному лицу в начале каждого страхового года, надо эту сумму поделить на число лиц, вступивших в страхование:

_wa_x=(l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_wV^w-x)/l_x

где _wa_x - единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) - пренумерандо.

Если рента выплачивается не пожизненно, а в течении определенного числа лет в начале каждого страхового года (пренумерандо) формула приобретет вид:

_na_x=(l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_x+n-1V^n-1)/l_x

если же в конце страхового года (постнумерандо):

_na_x=( l_х+1V+...+ l_x+nVⁿ)/l_x

3.4. Понятие коммутационных чисел. Методика расчета нетто-ставок через коммутационные числа

Показатели, необходимые для вышеуказанных расчетов, изменяются в таблицах смертности и дисконтирующих множителей. Однако, поскольку на практике приходится исчислять тарифные ставки для многих возрастов и на несколько различных сроков, пришлось бы складывать, перемножать и делить очень длинные ряды крупных чисел, что очень трудоемко. С целью упрощения расчета тарифов применяются специальные технические показатели - коммутационные числа:

D_x=l_xV^x

N_x=D_x+D_x+1+...+D_w

C_x=d_xV^x+1

M_x=C_x+...+C_w

R_x=M_x+...M_w

Рассмотрим принцип перевода в коммутационные числа формул, применяемых для расчета тарифов, на примере единовременной нетто-ставки по дожитию.

Известно, что, если числитель и знаменатель дроби умножить на одинаковое число, абсолютная величина ее не изменится.

Умножим правую часть формулы на Vx/Vx. Поскольку Vx/Vx=1, абсолютная величина останется той же. Таким образом,

(1)

В результате аналогичных преобразований остальные формулы примут следующий вид:

для исчисления единовременной нетто-ставки на случай смерти на определенный срок

(2)

для пожизненного страхования на случай смерти

пожизненной ренты пренумерандо

временной ренты пренумерандо

Размер временной ренты постнумерандо. То есть выплачивается не в начале, а в конце года, исчисляется по формуле

Приведем в сокращенном виде таблицу коммутационных чисел. (Табл. 4)

Таблица 4.

х	Dx	Nx	Cx	Mx	Rx
0	100 000	2 894 942	1 730	15 674	832 317
1	95 360	2 794 942	174	13 944	816 643
2	92 406	2 699 582	88	13 770	802 699
3	89 632	2 607 176	60	13 682	788 929
4	86 957	2 517 544	55	13 622	775 247
5	84 367	2 430 587	51	13 567	761 625
6	81 861	2 347 220	47	13 516	748 058
7	79 428	2 264 359	43	13 469	734 542
8	77 070	2 184 931	38	13 426	721 073
...	...	...	...	...	...
18	56 994	1 509 203	69	13 031	588 340
19	55 266	1 452 209	74	12 962	575 309
20	53 583	1 396 943	78	12 888	562 347
21	51 938	1 343 360	80	12 810	549 459
...	...	...	...	...	...
25	45 836	1 144 976	83	12 482	498 706
26	44 419	1 099 140	84	12 399	486 224
...	...	...	...	...	...
31	37 914	890 437	88	11 972	425 076
...	...	...	...	...	...
35	33 341	745 815	96	11 611	377 721
36	32 270	712 474	98	11 515	366 110
...	...	...	...	...	...
40	28 283	589 505	111	11 101	320 651
41	27 341	561 222	115	10 992	309 548
42	26 436	533 881	120	10 877	298 556
43	25 538	507 445	125	10 757	287 679
44	24 676	481 907	130	10 632	276 922
45	23 825	457 231	136	10 502	266 290
46	22 992	433 410	141	10 366	255 788
...	...	...	...	...	...
50	19 859	346 216	163	9 776	215 191
51	19 122	326 357	169	9 607	205 421
...	...	...	...	...	...
55	16 300	254 171	198	8 888	168 035
56	15 622	237 871	204	8 690	159 147
...	...	...	...	...	...
61	12 472	166 202	225	7 624	117 788
...	...	...	...	...	...
65	10 187	119 799	247	6 693	88 662
66	9 641	109 612	253	6 446	81 969
...	...	...	...	...	...
70	7 566	74 202	275	5 399	57 727
71	7 069	66 636	280	5 124	52 328
...	...	...	...	...	...

Пользуясь табл. 4 , рассчитаем единовременные нетто-ставки по дожитию и на случай смерти, например, при условии х=40, п=5 по формулам (1) и (2):

₅Е₄₀=D₄₅/D₄₀*100=23825/28283*100=84 руб 25 коп

₅А₄₀=M₄₀-M₄₅/D₄₀*100=11103-10502/28283*100=2 руб 13 коп

3.5. Методика перехода от единовременной к годичной нетто-ставке. Годичная нетто-ставка. Совокупная ставка на случай смерти и дожития, ее анализ

Ранее при расчетах нетто-ставки мы предполагали, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора страхования. Однако случаи единовременной оплаты страховых взносов практически встречаются редко. Большинству страхователей удобнее вносить платежи в течении всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки.