Розрахунок стрижневої системи зі скінченним числом ступенів свободи на вільні та вимушені коливання (стр. 1 из 2)

Номер розрахункової схеми визначається двома останніми цифрами номера залікової книжки, від яких треба відняти 48: 55-30=25. Отже, номер розрахункової схеми - 25.

Вихідні дані: L=7,2м; h=5,4м; m₁=4т; m₂=3т; m₃=7т; m₄=10т; m₅=8т; n=0,82; F_а=7кН; F_б=13кН; F_в=6кН; F_г=9кН.

Розрахункова схема.

1. Розрахунок на вільні коливання

1.1 Розрахункова схема та кінематичний аналіз

Виконаємо кінематичний аналіз:

Визначимо кількість ступенів свободи системи:

де Д - кількість дисків;

Ш - кількість простих шарнірів;

В₀ - кількість опорних в’язей.

Визначимо кількість динамічних ступенів свободи

Очевидно, що точкові маси m_1,m_2, m_3,можуть коливатися лише у вертикальному напрямку.

1.2 Диференційні однорідні рівняння вільних коливань

1). Складемо систему диференційних рівнянь вільних коливань, записавши переміщення точкових мас на основі принципу незалежності дії сил:

(1)

з урахуванням сил інерції мас:

(2)

де І₁ - сила інерції маси m₁ по вертикалі; І₂ - сила інерції маси m₂ по вертикалі; І₃ - сила інерції маси m₃ по вертикалі; δ_ij - одиничне переміщення по і-тому напрямку викликане дією одиничної сили по j-тому напрямку.

З врахуванням принципу Даламбера:

де

- прискорення і-тої маси.

В цьому разі систему (2) можна записати у вигляді:

(3)

Таким чином ми отримали систему диференційних рівнянь вільних коливань рами.

При складанні цієї системи сили опору середовища не враховані.

2). Вважаємо, що всі точкові маси здійснюють вільні коливання за гармонічним законом із частотою

, тоді розвязок (3) матиме вигляд:

y₁=A₁^.sin (ωt+φ₀);

y₂=A₂^.sin (ωt+φ₀);

y₃=A₃^.sin (ωt+φ₀).

Продиференціюємо дані вирази двічі, будемо мати:

=-A₁^.ω²sin (ωt+φ₀);

=-A₂^.ω²sin (ωt+φ₀); (4)

=-A₃^.ω²sin (ωt+φ₀).

Підставимо (4) в (3) і отримаємо систему диференційних рівнянь вільних коливань системи:

(5)

Отримана система рівнянь (5) - це система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих амплітуд переміщень точкових мас - А₁, А₂ і А₃.

Як відомо, для такої системи можливі два рішення:

а) А₁=А₂=А₃=0, але в цьому випадку коливань немає, тому дане рішення не задовольняє умови задачі;

б) А₁≠0, А₂≠0, А₃≠0. Визначник при невідомих дорівнює 0:

(6)

частотне рівняння вільних коливань або вікове рівняння,

де

- матриця податливості.

3). Для визначення

побудуємо необхідні епюри від одиничних навантажень:

Визначаємо одиничні переміщення:

;

4) Для перевірки правильності обчислення коефіцієнтів матриці податливості, побудуємо сумарну епюру від одиничних навантажень:

Отже, одиничні переміщення обчислено правильно.

1.3 Вихідні дані для розрахунку вільних коливань на ЕОМ

- матриця податливості;

; в нашому випадку

1.4 Обчислення частот і головних форм коливань

1) Використовуючи програму Dinamo16, обчислюємо на ЕОМ спектр частот вільних коливань та форми коливань з точністю 10^-5. В результаті отримаємо:

Спектр частот вільних коливань:

ω1 = 0.08870705

ω2 = 0.69629471

ω3 = 1.08787716

Форми коливань: (приймаємо, що

=1, тоді

)

;

,…,

- амплітуда переміщень 1-ї (n-ної) маси з і-тою частотою

2) За отриманими значеннями частот вільних коливань будуємо спектр частот:

3) Зобразимо головні форми коливань, тобто деформовані схеми конструкції, що відповідають певній частоті:

1.5 Перевірка ортогональності форм коливань

де k - номер маси;

i, j - номер форми коливань.

Умова ортогональності І та ІІ форм:

;