Или в общем виде:
(7.6)Вторые производные
являются ускорениями колебаний тела: ,(7.7)где
– амплитуда свободных колебаний;- частота свободных колебаний.
Подставляя
и в уравнения свободных колебаний (7.1 – 7.4), получаем уравнения колебаний в алгебраической форме: ,(7.8) ,(7.9) (7.10)В полученных уравнениях амплитуды колебаний
не равны нулю, поскольку система колеблется. Чтобы тождества удовлетворялись, необходимо равенство нулю определителей составленных из коэффициентов при неизвестных амплитудах, то есть:· для несимметричного вагона
,(7.11)· для симметричного вагона
Полученные уравнения (7.11 – 7.13) являются уравнениями частот. Из решения уравнения (7.12), находим частоты свободных колебаний, 1/с:
(7.14)Раскрывая определитель (7.13), получаем выражение вида
(7.15)После преобразования (7.15) приходим к характеристическому уравнению:
,(7.16)где
– частотный параметр, .Из уравнения (7.16) корни равны:
Частными решениями для симметричного вагона являются функции:
· для независимых колебаний:
(7.19)· для взаимосвязанных боковых колебаний:
(7.20)Частным решениям (7.19) отвечают формы колебаний подергивания, подпрыгивания, виляния, галопирования. Решениям уравнений (7.20) соответствуют колебания боковой качки I и II рода.
При движении по гармонической неровности пути реактивные усилия
в симметричном вагоне вызывают колебания подпрыгивания и галопирования, которые описываются уравнениями (6.19): (8.1) (8.2)Уравнения (8.1) и (8.2) однотипны. Проследим решение одного из уравнений, например, колебания подпрыгивания. Другое будет решаться аналогично первому.
Общее решение уравнения (8.1) складывается из частного решения однородного уравнения (без первой части) и частного решения неоднородного уравнения (с правой частью):
(8.3)Частное решение
отвечает свободным колебаниям системы (рис.8.1,б), а частное решение - вынужденным (рис. 8.1,а).Произвольные постоянные
являются амплитудами свободных и вынужденных колебаний.Если подставим частные производные
, соответственно в однородное и неоднородные уравнения, то найдемОбщее решение (8.3) представится теперь в виде:
(8.5)Возможны следующие случаи колебаний системы:
· нерезонансный, когда
;· резонансный, когда
;· случай близкий к резонансному,
.Резонансным случаем (режимом) колебаний считают тот, когда различия между частотами составляет не более 15%.
Колебания в нерезонансной области
При отклонении вагона от положения статического равновесия на величину
, вагон совершает гармонические колебания, определяемые первым членом уравнения (8.5). При воздействии на вагон только возмущающих нагрузок вагон совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой . Закон колебаний определяется вторым членом уравнения (8.5). В случае воздействия на вагон одновременно начальных возмущений и возмущающих нагрузок движения вагона определяются общим уравнением (8.5).Из-за наличия в системе сил трения, свободные колебания с течением времени затухают и движение системы определяется вторым членом уравнения (8.5).
Колебания вагона в резонансном и близким к резонансу режимах
Считаем, что частоты возмущений близки к частоте свободных колебаний:
(8.6)где
– бесконечно малая величина.Динамика вагона определяется законом движения (8.5) с учетом значений параметров (8.4).
Произвольные постоянные
в решении (8.5) найдем из начальных условий движений системы. Полагаем, в начальный момент движения перемещение и скорость были равны нулю, то есть: (8.7)Из решения системы (8.7) находим:
(8.8)Общее решение (8.5) с учетом (8.8) и последующим ее преобразованием через тригонометрические функции половинных углов принимает вид:
(8.9)Периоды тригонометрических функций равны:
(8.10)Рисунок 8.1 - График колебаний биения
Период
, поскольку - бесконечно малая величина. Закон колебаний системы по условию (8.9) показан на рисунке 8.1. Колебания заданного вида называют колебаниями биения.При более близком совпадении частот, в выражении (8.9) можно принять
. Тогда закон колебаний подпрыгивания при учете значения (8.8) будет выражен функцией: (8.11)Колебания пропорциональны времени
и нарастают с течением времени (рисунок 8.2).