Задача по теории упругости (стр. 1 из 2)
Задача №1
Использование плоского напряженного состояния балки-стенки с использованием степенных полиномов
Рисунок 1.
Решение:
Выделим из пластины бесконечно малый элемент aob и рассмотрим его равновесие:
, откуда t xy = t yx(1.1) 
откуда после сокращения на ds 
; (а) 
откуда после упрощения 
. (б)Итак,
(1.2)Если заменить в формуле (а) угол a на 90 ° + a , то получим
. (в)Исключая в формулах (1.2) угол a , получим уравнение круговой диаграммы Мора для плоского напряженного состояния (рис. 2)
. (1.3)  Рисунок 2. | Это уравнение типа ( x- a) 2+ y2 = R2, где a = 0,5( s x+ s y),  .Непосредственно из круговой диаграммы находим величины главных напряжений: |
. (1.4)Ориентация главных осей определяется из условия t x¢y¢ = 0, откуда tg2 a o = 2 t xy/( s x- s y). (1.4)
Более удобна следующая формула:
. (1.5)Экстремальные касательные напряжения равны по величине радиусу круговой диаграммы
. (1.6)И действуют на площадках, равнонаклоненных к главным осям.
Частный случай - чистый сдвиг (рис. 3).
Так как s x = s y = 0, t xy = t yx = t , то по формулам (1.3) и (1.4) получим
| |  ,следовательно    ;  , откуда  и . |
Зависимости между напряжениями и деформациями определяются законом Гука:
- прямая форма
(1.7)- обратная форма
(1.8) 
Пользуясь законом Гука в обратной форме, находим напряжения
Для вычисления главных напряжений имеем следующую систему:
решая которую, найдем s 1 = 60 МПа, s 2 = 20 МПа.
Задача №2
Решение плоской задачи методом конечных разностей
Рисунок 4.
Решение:
1. Проверка существования заданной функции напряжений.
Подстановка полученных выражений в бигармоническое уравнение обращает его в тождество:
Функция
может быть принята в качестве решения плоской задачи теории упругости.2. Выражения для напряжений.
, 
, 
.3. Распределение внешних нагрузок по кромкам пластинки (рис3.1,а).
Сторона 0-1:
, 
Вершина парабол при
. 
: 
, 
: 
.Сторона 1-2:
, 
Экстремумы
. 
: 
: 
: 
Сторона 2 -3:
, 
Экстремумы
за границей стороны 
: 
