Исследование операций (стр. 1 из 5)

Московский государственный

Горный университет

Курсовой проект по исследованию операций.

Решение задачи методами линейного,

целочисленного, нелинейного и динамического

программирования.

Выполнил студент группы

ПМ – 1 – 97 Солодовников Д. А.

Научный руководитель: Багрова Г.И.

Москва 1999 г.

Содержание:

Цель курсовой работы ……………………………………………………………..3

Линейное программирование ……………………………………………………..4

Решение задачи методом линейного программирования ……………………….6

Целочисленное линейное программирование …………………………………...9

Решение задачи методом целочисленного линейного программирования …...10

Нелинейное программирование ………………………………………………….15

Решение задачи нелинейного программирования ………………………………15

Динамическое программирования ………………………………………………..20

Решение задачи динамического программирования …………………………….21

Графическая интерпретация решений ……………………………………………25

Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27

О проекте …………………………………………………………………………...28

Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования. Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.

Задание:

Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов.

Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну.

Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 – 29,9%.

Наименование показателя	Единицы Измерения	Предприятия
		1	2	3
Max добыча ПИ	тыс. тонн	740	680	600
Содержание полезного компонента	%	29,1	29,8	30,8
Извлечение	%	80	75	70
Затраты на добычу, транс-портировку и переработку	у.е. /т	6	7	8
Производительность Состава	тыс. тонн	120	110	106
Коэффициент увеличения затрат при нагрузке:До 30% -31 – 50% -51 – 70% -71 – 100%-максимальной	1,8 1,7 1,6 1,4 1	1,7 1,5 1,4 1,2 1	1,9 1,7 1,6 1,3 1

В курсовом проекте введены следующие условные обозначения:

ЛП – линейное программирование;

ЦЛП – целочисленное линейное программирование;

ДП - динамическое программирование.

Линейное программирование.

Основная задача линейного программирования:

Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции.

1) Первый канонический вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n

b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n

b₂

……………………………………

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_ijx_j +…+ a_inx_n

b_i

.……………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n

b_n

x_j 0; j=1,n; i=1,m;

Z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_jx_j+…+C_nx_n

max (min);

2) Второй канонический вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n+y₁=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n+y₂=b₂

………………………………………

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_ijx_j +…+ a_inx_n+y_i=b_i

.………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n+y_m=b_n

x_j 0; j=1,n; i=1,m;

Z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_jx_j+…+C_nx_n

max (min);

Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду.

Теоремы линейного програмирования:

Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло.

Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.

При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи:

1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1).

2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2).

3) Система ограничений имеет конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3).

4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4).

Рис. 1.1 Рис. 1.2Рис. 1.3 Рис. 1.4

C

a b

Рис. 2

Симплекс – метод.

Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа:

1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции.

2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями.

3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводитсяк последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.

Решение задачи методом линейного программирования.

Симплекс – метод.

Определить плановое задание добывающим предприятиям, если в работе находится N=12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание Ме (полезного компонента) в пределах 29,9 – 29,9 %

Наименование показателя	Единицы Измерения	Предприятия
1	2	3
Max добыча ПИ	тыс. тонн	740	680	600
Содержание полезного компонента	%	29,1	29,8	30,8
Извлечение	%	80	75	70
Затраты на добычу, транс-портировку и переработку	у.е. /т	6	7	8
Производи-тельность Состава	тыс. тонн	120	110	106

x₁, x₂, x₃ – количество составов выделенных соответственно предприятиям 1, 2 и 3.

Ограничения:

· По количеству составов:

,

где n – количество предприятий,N – количество составов.

1. x₁ + x₂ + x₃

12

· По максимальному объему добычи руды с каждого из предприятий:

, где

2. 120x₁

740 или x₁ 6,16666 (для предприятия 1);

3. 110x₂

680 или x₂ 6,18181 (для предприятия 2);

4. 106x₃

600 или x₃ 5,6603 (для предприятия 3).

· По содержанию полезного компонента в руде:

по формуле:

где

a_min – минимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

a_max – максимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

a_i – содержание полезного компонента в руде i – того предприятия,

q_i – производительность состава i – того предприятия,