Вступ
Математична модель в механіці - це замкнута система математичних співвідношень, що дозволяє з прийнятною точністю вивчати особливості поведінки даного об'єкту, що цікавлять дослідника.
Математичне моделювання в механіці керованих систем має ряд особливостей:
· Що вивчаються в механіці керованого руху об'єкти надзвичайно різноманітні. Автомобіль, гіроскопічний стабілізатор, крокуючий робот, імітатор космічного польоту і т.п. складаються з різних жорстких конструктивних елементів, пристроїв, датчиків, двигунів. З теоретико-механічної точки зору всі ці об'єкти можуть розглядатися як системи, що складаються з великого числа взаємодіючих твердих тіл. Спроба скласти математичну модель такого об'єкту за допомогою класичних методів теоретичної механіки, наприклад у формі рівнянь Лагранжа, зазвичай приводить до неймовірно громіздких рівнянь, що налічують сотні і тисячі доданків. Виникає потреба в наближеному моделюванні, яке для чітко обумовленого класу руху описує потрібні явища з прийнятною точністю.
· Для систем, керованих рухів, що вивчаються механікою, характерні сильні загасання високочастотних власних складових руху. Наближене моделювання таких систем тяжіє до побудови розкладань А. Пуанкаре і погрансольним методам А.Н. Тихонова - А.Б. Васильєвої.
Проникнення математичних методів в найрізноманітніші, часом несподівані сфери людської діяльності означає можливість користуватися новими, як правило, вельми плідними засобами дослідження. Зростання математичної культури фахівців у відповідних областях призводить до того, що вивчення загальних теоретичних положень і методів обчислень вже не становить серйозних труднощів. Але на практиці виявляється, що одних лише математичних пізнань далеко не достатньо для вирішення того або іншого прикладного завдання необхідно ще отримати навики в перекладі початкового формулювання завдання математичною мовою.
Ситуації моделюють для різних цілей. Головна з них необхідність передбачати нові результати або нові властивості явища. Ці прогнози можуть бути пов'язані з розповсюдженням існуючих результатів або мати принциповіший характер. Часто вони відносяться до умов, які, ймовірно, матимуть місце в деякий момент в майбутньому. З іншого боку, прогнози можуть відноситься до подій, безпосереднє експериментальне дослідження яких нездійсненно. Найбільш важливий приклад такого роду дають численні прогнози, які робилися на основі математичних моделей в програмі космічних досліджень. Проте для цієї мети моделюються не всі ситуації: в деяких випадках досить вміти описувати математичними засобами роботу системи для того, щоб добитися глибшого розуміння явища (саме цю роль і грають багато видатних фізичних теорій, хоча на їх основі робляться також і прогнози). Зазвичай при такому математичному описі не враховується елемент контролю, проте в моделях, побудованих, наприклад, для дослідження роботи мереж, таких як схеми руху потягів або літаків, контроль часто є важливим чинником.
Математична модель є спрощенням реальної ситуації. Відчутне спрощення наступає тоді, коли неістотні особливості ситуації відкидаються і складне початкове завдання зводиться до завдання, що ідеалізується, піддається математичному аналізу. Саме при такому підході в класичній прикладній механіці виникли блоки без тертя, невагомі нерозтяжні нитки, нев'язкі рідини, абсолютно тверді або чорні тіла і інші подібні моделі, що ідеалізуються. Ці поняття не існують в реальній дійсності, вони є абстракціями, складовою частиною ідеалізації, зробленій автором моделі. І проте їх часто можна з успіхом вважати хорошим наближенням до реальних ситуацій. Описаний образ дій при побудові математичних моделей не є єдиним, і цьому зовсім не варто дивуватися. У іншому можливому підході першим кроком є побудова простій моделі декількох найбільш характерних особливостей явища. Це часто робиться для того, щоб відчути дане завдання, причому робиться це ще до того, як саме завдання остаточно сформульоване. Потім ця модель узагальнюється, щоб охопити інші факти, поки не буде знайдено прийнятне або адекватне рішення. Є ще підхід, коли із самого початку вводиться в розгляд одночасне велике число чинників. Він часто застосовується в дослідженні операцій, і такі моделі зазвичай вивчають імітаційними методами з використанням ЕОМ.
Актуальність теми. Одна з основних проблем сучасного локомотивобудування - забезпечення високих тягових і динамічних характеристик локомотивів, які в основному визначаються конструкцією екіпажної частини і технічним станом системи колесо - рейка.
У останні десятиліття з метою зменшення силової взаємодії і зносу гребенів коліс і рейок в кривих велася цілеспрямована і системна робота по впровадженню нових профілів коліс і технологій змазування гребенів і рейок. Це значно понизило гостроту проблеми виходу з експлуатації рейок і бандажів локомотивних коліс внаслідок підвищеного зносу. В той же час збільшилася контактно-втомна пошкоджуваність коліс і рейок.
Дослідження динаміки локомотивів і зношування гребенів в більшості теоретичних і експериментальних робіт виконувалися на вибігу, а не під тягою, при контакті нових коліс, у тому числі і з криволінійним профілем, з новими або мало зношеними рейками і без змазування.
Вивчення динаміки з погляду силової взаємодії і зношування гребенів коліс локомотива в режимах вибігу і тяга при різному технічному стані системи колесо - рейка є актуальним завданням.
Розділ 1. Опис фізичних явищ, що впливають на рух поїзда
1.1 Особливості залізничного руху
Технічні параметри. Тяга. Найбільш важливими параметрами, що впливають на рух потягу, є сила тяги локомотива і питомий опір рухомого складу. Останнє виражається з розрахунку на вагу типового (наприклад, вантажного або пасажирського) вагону. Щоб переміщати з малою швидкістю за горизонтальним прямолінійним профілем звичайний вантажний вагон вагою 30 т, необхідна тяга в 90 кг (т.б. до тонни ваги порожнього вагону треба прикласти рушійну силу в 3 кг). Для руху там же того ж вагону з вантажем 60 т буде потрібно тягу всього в 130 кг (т.б. 1,4 кг/т). При русі на малій швидкості пасажирського потягу з вагонами вагою 60 т на тій же ділянці шляху потрібно долати питомий опір 2,2 кг/т. Оскільки пасажирські потяги зазвичай ходять швидше товарних, при їх русі слід враховувати і опір повітря, для подолання якого необхідна додаткова тяга, що у результаті може досягти від 3,6 до 5,4 кг/т в діапазоні швидкостей від 113 до 160 км/г. Питомий опір при важких рейках на баласті з скельного щебеня менший, ніж при легких рейках на м'якому баласті. Окрім вищезазначених чинників, на величину необхідної тяги впливають нахили (так, на ділянці шляху з підйомом в 1% потрібно збільшувати тягу на 9 кг/т) і повороти (кожен додатковий кутовий градус кривизни шляху вимагає від 0,2 до 0,7 кг/т тяги).
Швидкість. Основні обмеження швидкості руху по залізниці диктуються властивостями її полотна, верхньої будови шляху і особливостями конструкції залізничного колеса. Стандартна колія є досить вузькою базою, яка повинна витримувати всі навантаження від залізничного складу. Верхні межі швидкості обумовлені ще і тим, що у кожного колеса гребінь (реборда) є лише з одного боку, і тому практично тільки сила тяжіння утримує вагони і локомотиви на рейках. Джерелами обурень динамічної стійкості рухомих складів є перетини шляхів і їх сполучення з перевідними стрілками. Такого роду перешкоди обмежують швидкість руху величиною 210 км/г при ідеальному стані засобів і устаткування залізниці. Проте цей ідеальний стан практично недосяжний внаслідок багатьох причин. Тому на магістральних залізницях максимально допустима швидкість товарних потягів складає 80–90 км/г. Важко забезпечувати рух на підвищених швидкостях навіть пасажирських потягів, для яких теж існують економічно обгрунтовані обмеження швидкості, пов'язані із зносом і межами міцності конструкції вузлів рухомого складу.
Повороти шляху теж обмежують швидкість. Дію відцентрової сили можна до деякої міри компенсувати, піднімаючи на поворотах зовнішню рейку щодо внутрішньої, але різницю між їх рівнями не можна робити більше 15 див. При повороті на 1R (радіус кривизни повороту 1750 м) не можна розвивати швидкість більше 150 км/г; при повороті на 2S швидкості треба знижувати до 80 км/г; при 3S – до 65 км/г; при 5S (радіус кривизни 349 м) – до 50 км/ч. На швидкісних трасах слід виключати повороти більш 2S. Проте, повороти залізничної колії більш 3S зустрічаються навіть на рівнинах; у гористій місцевості нерідко доводиться робити повороти в 8T і навіть 10T. Обмежує швидкість руху і багато що інше – умови руху по мостах і в тунелях, на перетинах шляхів, на стрілках, на спусках (де особливо важливо контролювати швидкість, враховуючи можливості гальмівної системи).
Тертя між рейкою і залізничним колесом є одним з найважливіших чинників функціонування залізниці. Коли рейки покриваються вологою, їх посипають піском, щоб колеса не пробуксовували. Максимальне значення сили тертя між колесом і рейкою, необхідне для гальмування потягу або його розгону, рівно чверті ваги, що доводиться на це колесо. Оскільки для екстреного прискорення або уповільнення руху залізничного складу необхідне відносне тягове зусилля в 45 кг/т, гальмування зміною навантаження на колесо обмежується максимальним значенням відповідного уповільнення в 8 км/г за 1 секунду.
Габарити одиниці рухомого складу. Важливою характеристикою є габарити вагонів і вантажів, що перевозяться ними, які допустимі при пересуванні мимо придорожніх будов, в тунелях і під мостовими спорудами. На американських залізницях рекомендується залишати стандартний вільний простір шириною 4,9 м до висоти 4,9 м над головками рейок. Таким чином, допустима ширина транспортного засобу не набагато перевищує 3 м в найбільш широкій його частині, а максимальна висота його над рейками обмежена 4,4–4,6 м. Відстань між центральними лініями магістральних шляхів складає 4 м, і, оскільки на поворотах транспортний засіб заносить, довжина одиниці рухомого складу незчленованого типу обмежується 26 м. Кінцеві, старі ділянки дороги і бічні вітки не відповідають стандартним вимогам. Через це залізничному транспорту іноді доводиться здійснювати об'їзди по обхідних маршрутах і нерідко просуватися на малих швидкостях. Всі ці габаритні обмеження роблять вплив на конструктивні рішення і потужність локомотивів.