Моделювання транспортної мережі (стр. 3 из 5)

б) Якщо усі вузли мають постійні мітки, процес обчислень закінчується. У противному випадку вибирається мітка

з найменшим значенням відстані серед усіх тимчасових міток (якщо таких міток декілька, то вибір довільний). Думаємо і повторюємо крок .

Задача визначення найкоротших відстаней між елементами транспортної мережі (Алгоритм Флойда).

Дана задача вирішується за допомогою алгоритму Флойда.

Цей алгоритм більш загальний у порівнянні з алгоритмом Дейкстри, тому що він знаходить найкоротші шляхи між будь-якими двома вузлами мережі. У цьому алгоритмі мережа представлена у виді квадратної матриці з

рядками і стовпцями. Елемент дорівнює відстані від вузла до вузла , що має кінцеве значення, якщо існує дуга , і дорівнює нескінченності в противному випадку.

Покажемо спочатку основну ідею методу Флойда. Нехай є три вузли

і задані відстані між ними (рис. 3.1). Якщо виконується нерівність , то доцільно замінити шлях шляхом . Така заміна (далі її будемо умовно називати трикутним оператором) виконується систематично в процесі виконання алгоритму Флойда.

Рис. 3.1. Трикутний оператор

Алгоритм Флойда вимагає виконання наступних дій.

Крок 0. Визначаємо початкову матрицю відстаней

і матрицю послідовності вузлів . Діагональні елементи обох матриць позначаються знаком «–», що показує, що ці елементи в обчисленнях не беруть участь. Думаємо :

Рис. 3.2. Початкова ситуація

Основний крок k. Задаємо рядок

і стовпець як ведучий рядок і ведучий стовпець. Розглядаємо можливість застосування трикутного оператора до всіх елементів матриці . Якщо виконується нерівність , тоді виконуємо наступні дії:

· створюємо матрицю

шляхом заміни в матриці елемента на суму ,

· створюємо матрицю

шляхом заміни в матриці елемента на . Думаємо і повторюємо крок .

Пояснимо дії, виконувані на

-м кроці алгоритму, представивши матрицю так, як вона показана на рис 3.3. На цьому рисунку рядок і стовпець є ведучими. Рядок – будь-який рядок з номером від 1 до , а рядок – довільний рядок з номером від до . Аналогічно стовпець представляє будь-як стовпець з номером від 1 до , стовпець – довільний стовпець з номером від до . Трикутний оператор виконується в такий спосіб. Якщо сума елементів ведучих рядка і стовпця (показаних у квадратах) менше елементів, що знаходяться в перетинанні стовпця і рядка (показаних у кружках), що відповідають розглянутим ведучим елементам, то відстань (елемент у кружку) заміняється на суму відстаней, представлених ведучими елементами:

Рис. 3.3. Ілюстрація алгоритму Флойда

Після реалізації

кроків алгоритму визначення по матрицях і найкоротшому шляху між вузлами і виконується за наступними правилами.

1. Відстань між вузлами

і дорівнює елементові в матриці .

2. Проміжні вузли шляху від вузла

до вузла визначаємо по матриці . Нехай , тоді маємо шлях . Якщо далі і , тоді вважаємо, що весь шлях визначений, тому що знайдені всі проміжні вузли. У противному випадку повторюємо описану процедуру для шляхів від вузла до вузла і від вузла до вузла .

При аналізі транспортних мереж часто виникає задача визначення максимального потоку, що може пропустити дана мережа, а також задача розподілу цього потоку по дугах мережі.

З математичної точки зору задача про максимальний потік формулюється в такий спосіб: при заданій конфігурації мережі і відомої пропускної здатності

знайти ненегативні значення , що задовольняють умовам і, що максимізують функцію , тобто

Алгоритм для знаходження максимального потоку був запропонований Фордом і Фалкерсоном і полягає в поступовому збільшенні потоку, що пропускається по мережі, доти, поки він не стане найбільшим. Алгоритм заснований на теоремі Форда-фалкерсона: у будь-якій транспортній мережі максимальний потік із джерела

в стік , дорівнює мінімальній пропускній здатності розрізу, що відокремлює від .