Основы построения систем. Способы передачи и анализ телемеханических сигналов (стр. 2 из 6)
Рис. 7. Схема информационных преобразований в системах
Таким образом, для каждого преобразователя нужно уметь задавать взаимосвязь между входами и выходами в соответствующей математической форме, а также описывать сигнал любого вида.
Чаще всего для описания сигналов используют функцию времени (рис.8), так как изменение физических параметров сигналов удобно наблюдать во времени. Если изменения наблюдаемых параметров происходят дискретно во времени, то и сигналы получают дискретную форму.
При непрерывном изменении параметров во времени сигналы могут быть аналоговымиили после дополнительных преобразований (квантование) — дискретными
Сигналы как функции времени у = х(t) графически удобно представлять совокупностью точек определенной кривой в двухмерном пространстве прямоугольных координат х и t (см. рис.8). Однако не во всех случаях такое представление сигналов оказывается достаточным и наглядным, в особенности для изучения свойств совокупности сложных сигналов. В этих случаях используют сложные пространства сигналов, в которых каждый сигнал изображается точкой в этом многомерном пространстве. Иными словами, все сигналы, обладающие свойствами Р, образуют множество сигналов S, т.е. S = {х; Р}. В другой форме эта же взаимосвязь может быть записана так: Р => х єS, т.е. Р верно для х, принадлежащего S.
Таким образом, определяя Р, задают нужное множество сигналов. Оперируя множествами, в теории сигналов широко используют операции объединения и пересечения.
Объединение множеств S1 и S 2 (рис. 10, а) представляется как:
а пересечение (рис. 10, б) как:
 |
Рис. 10. Пересекающиеся и непересекающиеся множества и подмножества
Операторы
и 
используются также для разбиения множества на ряд непересекающихся подмножеств (рис. 10,в) т.е. 
, если 
для, 
где 0 - знак пустого множества.Для получения более удобных узких подмножеств обычно используют разбиения с помощью отношения эквивалентности, выражаемого следующими свойствами: х ~ х для любого х (свойство рефлексивности); х ~ у => у ~ х (симметрия); х ~ у и у ~ z =>х(транзитивность).
Более общий способ установления отношений между элементами множеств состоит в отображении элементов одного множества на элементы другого по определенному правилу, т.е. отображение - это правило, по которому элементам множества S1 (рис.11) ставятся в соответствие элементы множества S2. Символически это записывается как f :
, что означает у =f (х), 
, т.е. у - образ х в S 2 при отображении f. 
Рис. 11. Отображение сигналов
При взаимно однозначных отображениях используют и обратное отображение S2на S1, т.е.
, а также составные или последовательные отображения (рис. 12), т.е. 
Рис. 12. Составное отображение
Любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображение, а любое отображение порождает отношение эквивалентности.
Наиболее широко применяемым в теории сигналов является отображение, называемое преобразованием Фурье:
(1)где:
Обратное отображение задаётся соотношением:
(2.)Соотношения (2.1) и (2.2) являются парой преобразований Фурье, причем первое из них выражает так называемую спектральную плотность сигнала (частотный спектр).
Любой сигнал конечной длительности
или периодический сигнал 
могут быть представлены совокупностью периодических (гармонических) составляющих (рис. 13) в соответствии с разложением в ряд Фурье.  |
Рис. 13. Представление сигналов гармоническими составляющими
Коэффициенты разложения определяются функционалами:
где:
Другим широко используемым способом представления любого сигнала является его представление временным рядом, т.е. конечным набором функций, описывающих интерполирующий импульс
(рис. 14, а) при разных его смещениях по оси времени (рис. 14, б). Обычно такой импульс удовлетворяет условиям:
 |
Рис. 14. Представление сигналов временным рядом
Сигналы с ограниченной частотой изменения
представляют дискретным набором отсчетов через равностоящие промежутки времени (рис. 15) в соответствии с теоремой Котельникова (теорема отсчетов), т.е. для любого 
Кроме указанных способов представления произвольных сигналов существует множество других, например разложения по полиномам Лежандра, Чебышева, Лагерра, функциямБесселя, Хаара и др.
Рис. 15 Представление сигналов дискретными отсчетами
Таким образом, для описания любых детерминированных во времени сигналов существуют различные методы. Однако в реальных системах часто приходится иметь дело со случайными сигналами, т.е. с такими функциями времени, значения которых лежат в определенном диапазоне и появление любой из них имеет определенную вероятность (стохастический процесс) 
где
рассматривается как вектор в гильбертовом пространстве, образуемом точками по параметру t.В таких системах стремятся определить не конкретное значение сигнала (отдельная реализация), а вычислить статистические средние значения по отношению к случайным переменным (математическое ожидание). Тогда случайный процесс во времени характеризуется детерминированной во времени функцией от различных ожиданий, а не формой конкретных сигналов. В этом состоит принципиальное различие в описаниях детерминированных и случайных сигналов.
Для сравнительной оценки сигналов одного множества по каким-либо свойствам каждой паре элементов множества ставится в соответствие действительное положительное число, называемое расстоянием между элементами.
Расстояния во множестве, представляющем пространство сигналов, определяют по условному правилу, называемому метрикойданного пространства. Метрика должна удовлетворять следующим условиям:
т.е. расстояние неотрицательно; 
т.е. расстояние от х до у равно расстоянию от у до х (симметрия); 
т.е. длина одной стороны треугольника векторов не может быть больше суммы двух других.
Для одного и того же множества элементов по разным метрикам могут быть образованы разные метрические пространства. Например, если принять 
и
то расстояние в трехмерном пространстве (Евклидова метрика)