Перейдем к более детальным построениям. Пусть Т – аксиоматическая теория в языке L классического исчисления предикатов первого порядка. Сопоставим каждому n -местному атомарному предикатному символу Р(х 1 , ..., x n ) языка L n -местный атомарный предикатный символ Р*(х 1 , ..., x n ), а каждому n -местному функциональному символу t (х 1 , ..., x n ) – n-местный функциональный символ t *(х 1 , ..., x n ). Индивидные константы (если они вообще имеются) оставим без изменений [1] . Получим язык L*. Теперь заменим в аксиомах теории Т каждое вхождение предикатных и функциональных символов на соответствующие символы со звездочкой. Результат описанной замены для аксиомы А обозначим через А*. В итоге получим теорию Т* в языке L*, содержащую в качестве аксиом только формулы вида А*.
Объединим полученные теории в одну. Получим теорию Т E Т* в языке L E L *. Теория Т E Т* вряд ли может кого-то заинтересовать. Просто она содержит два параллельных ряда аксиом, отличающихся лишь наличием или отсутствием звездочек в их формулировках. Однако понятие формулы претерпело существенное изменение. Формулами теории Т E Т* отныне являются не только формулы языка L и формулы языка L * по отдельности, но и смешанные формулы, содержащие как символы без звездочек, так и символы со звездочками. Пусть А – какая-либо формула языка L E L *. Через А* обозначим результат одновременной замены в А каждого предикатного или функционального символа без звездочки на соответствующий символ со звездочкой, а каждого предикатного или функционального символа со звездочкой на соответствующий символ без звездочки .
Так определенная операция * на формулах обладает следующим очевидным свойством.
Предложение 1 . Любая формула А графически совпадает с А**, но ни одна формула А не совпадает с А*.
По аналогии с атомарными формулами, произвольные формулы А и А* также будем называть сходными в теории Т E Т*.
Положим L н = L E L * E {н}, где “н” – символ новой унарной логической связки.
Добавим к Т E Т* важное определение. Точнее, схему определений. Для любой формулы А языка L н аксиомой является следующая формула:
нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)).
Содержательный смысл данного определения должен быть ясен из вышесказанного. В частности, если А – формула языка L E L * (это означает, что в А нет вхождений оператора “н”), то А неопределенна тогда и только тогда, когда она выполнена в модели теории Т E Т*, а сходная с ней формула А* не выполнена в той же модели, или, наоборот, А не выполнена, но А* выполнена.
Теорию Т E Т* с присоединенной схемой определений
нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) в качестве новой аксиомной схемы назовем минимальной теорией с неопределенностью Тн в языке L н. Короче, минимальная Тн = Т E Т* E {нА « ((А & O A *) U ( O A & A *))}.
Интересно обсудить вопрос: относится ли предложенная конструкция к чистой логике, или она является частью прикладных построений? Уточним постановку вопроса. Пусть исходная теория Т – это просто одна из аксиоматических формулировок чистого исчисления предикатов первого порядка без равенства. Нет никаких причин сомневаться, что Т* тогда тоже относится к чистой логике. Но как быть в этом случае с минимальной Тн? Является ли Тн прикладной теорией (вроде арифметики или теории множеств), или ее все еще можно считать принадлежащей к чистой логике? Представляется убедительным следующий аргумент. Аксиомы прикладных теорий истинны не во всех универсумах, тогда как логические аксиомы верны при любых интерпретациях во всех непустых универсумах. Аксиомную схему нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) невозможно провалить по той же самой причине, по какой нельзя опровергнуть, например, сокращение (А & В) « O (А ® O В), добавленное к исчислению, сформулированному в языке { O , ® }. Так и в рассматриваемом случае. Формула нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) по сути является сокращением, позволяющем в более компактном виде представлять некоторые формулы. Можно, конечно, принять закон O ((А & В) « O (А ® O В) ), но это будет какая-то другая, неклассическая логика. Также можно придать унарной логической связке “н” какой-то другой смысл. Но это тоже будет уже другая логика.
Придадим сказанному формальный смысл. Пусть <U, F> – структура для языка L E L *. Поскольку язык L E L * является языком исчисления предикатов первого порядка, функция интерпретации F предикатных, функциональных и индивидных констант из L E L * на непустом универсуме U стандартна. Все, что требуется для того, чтобы сделать <U, F> структурой для языка L н, – это определить условие выполнимости для формул вида нА. Это условие очевидно: формула нА выполнена в структуре <U, F> при оценке v тогда и только тогда, когда в <U, F> при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Тогда верно следующее утверждение (в котором знак логического закона “ u = ” имеет обычное классическое значение).
Предложение 2 . u = (нА « ((А & O A *) ? ( O A & A *))).
Однако чисто логическая теория Тн моментально превратится в прикладную, как только мы примем аксиому о том, что конкретная выполнимая формула А является неопределенной. Аксиома нА для такой формулы может выполняться в одних интерпретациях и не выполняться в других, как и положено аксиомам прикладных теорий. Но в этом случае теория Тн перестанет быть минимальной.
Предложение 3 . Для любой теории Т теория Т E Т* является ее консервативным расширением, а минимальная теория Тн является консервативным расширением Т E Т* (и, значит, также Т).
Как и всякую теорию, минимальную теорию Тн можно расширять, причем не обязательно формулами, содержащими оператор “н”. В качестве новой аксиомы к Тн разрешается добавлять любую формулу языка L н. Разумеется, в результате расширение уже не обязано быть консервативным. Тем не менее, каковы бы ни были теории с неопределенностью Тн, для них верны все стандартные метатеоремы о первопорядковых теориях классической логики. Иными словами, выполняется своего рода принцип переноса . Данный факт имеет место потому, что по сути дела теории Тн не выводят нас за рамки классической логики. В частности, каждую формулу теории Тн, содержащую оператор “н”, можно заменить эквивалентной ей формулой без этого оператора, элиминировав, таким образом, оператор неопределенности “н”.
Зато введение этого оператора позволяет в компактном виде сформулировать ряд неклассических идей, связанных с неопределенностью. Начнем с семантики. Будем использовать понятие выполнимости в обычном смысле с учетом расширения его на формулы вида нА, как было определено выше. Пусть А – формула языка L н и <U, F> – структура для языка L н. А определенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v , если как А, так и А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . А определенно не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , если как А, так и А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Если в классическом случае любая формула либо выполнена, либо не выполнена, то здесь появляется третья возможность. Формула А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v , если либо А выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , либо А не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v .
Предложение 4 . Формула нА определенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v тогда и только тогда, когда А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v .
Докажем это утверждение. Пусть нА определенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Значит, как нА, так и нА* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Согласно определению выполнимости для формул вида нА, получаем, что в структуре <U, F> при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Дизъюнкция C U D выполнена, если выполнена формула С или выполнена формула D . Допустим, (А & O A *) выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Тогда и А, и O А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Раз O А* выполнена, то А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , т. е. А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v , что и требовалось. Случай ( O A & A *) рассматривается аналогично.
Пусть теперь А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Тогда либо А выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , либо А не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Рассмотрим первую возможность. Так как А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , O А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Значит, в структуре <U, F> при оценке v выполнена конъюнкция (А & O A *) и, следовательно, дизъюнкция ((А & O A *) U ( O A & A *)), что и требовалось. Вторая возможность рассматривается аналогичным образом.
Формула А принимает значение 1 ( определенно истинно ) в структуре <U, F>, если А определенно выполнена структуре <U, F> при всех оценках v . Формула А принимает значение 0 ( определенно ложно ) в структуре <U, F>, если А определенно не выполнена структуре <U, F> при всех оценках v . Формула А принимает истинностное значение 1/0 ( неопределенность ), если А неопределенно выполнена структуре <U, F> при всех оценках v .
Разумеется (как и в классическом случае, когда незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной), незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной, ни неопределенной. Зато каждая замкнутая формула в семантике неопределенности получит какое-то из трех истинностных значений.
Предложение 5 . Если А – замкнутая формула языка L н, то в любой структуре <U, F> для языка L н А получит одно и только одно из трех истинностных значений: либо ¦А¦ = 1, либо ¦А¦ = 0, либо ¦А¦ = 1/0.
Еще одним очевидным следствием принятых определений является следующее утверждение.