Последствием подобного положения дел оказалось то, что, если движение описано методами классической механики, то его следует понимать выведенным из зависимости от выбора некоей конкретной системы координат, использование которой допускает подобная характеристическая группа. Подобное условие следует назвать априорной, (то есть, собственно говоря, до-физической) посылкой самой используемой теории. Таким образом в Галилеевской кинематике все те разнообразные описываемые ею объекты должны удовлетворять требованиям специфической математической посылки, требующей от них быть ковариантными в согласии с условиями Галилеевской группы относительности. Или иными словами: поскольку никакой момент времени физически не отличим от всякого другого момента, физически невозможным является и определение абсолютного начала координат времени: с подобным фактом теория связывает сам принцип относительности для подгруппы временного сдвига. Подобным же образом невозможно физическое определение абсолютного начала пространственных координат или некоего абсолютного направления вращения. Также физически невозможно выбрать и некую абсолютную инерциальную структуру; именно с подобным кинематическим принципом связана группа преобразований Лоренца и т.д.
Галилеевская группа представляет собой группу симметрий пространства и времени: это определяет тот предмет, который получил название "однородности" структуры, в пределах которой каждая точка пространства и времени неотличима от другой. В общем, условие симметрий устанавливает для количеств, используемых в описаниях физических систем, разделение на две разновидности. Один объединяет те количественные параметры, которые не находятся в зависимости (не инвариантные) от происходящего изменения, специфически отличающего подобную физическую систему. (Если, например, мы определяем некую частицу как самодостаточную физическую систему, то здесь ее масса служит именно такого рода величиной.) В другую часть следует объединить количества, которые скорее уже зависят от выбора системы координат: примерами подобных служат, например, установленный нами нуль отсчета времени, нулевая позиция наших координат, структура геометрических координат и действующий в данном представлении принцип инерциальности. Механическую систему, в таком случае, полностью описывает некоторая определенная функция, носящая имя Функции Лагранжа, которая объясняет "действие" подобной системы. Одна из самых важных теорем классической механики, называемая теорема Нетера (предмет которой позволяет обобщить множество иных физических теорий), говорит о том, что если Функция Лагранжа безразлична к данной группе координатных видоизменений, тогда определяемые ею некоторые физические количества равным же образом соотносятся, сохраняясь в каждом следующем движении системы. Подобные сохраняющиеся количественные отличия получили название первых интегралов системы. Они обладают фундаментальным значением для решения уравнений Эйлера-Лагранжа (другое имя - Гамильтониан), которые удовлетворяют условиям подобной системы, и решения которых являются темпоральной траекторией системы.
Теорема Нетера говорит нам (более точно), что для каждой монопараметрической группы симметрий, описываемой Функцией Лагранжа существует соответствующий закон сохранения физического количества. Монопараметрическая группа симметрий представляет собой группу симметрий одного измерения, например группу пространственных сдвигов в некотором выбранном направлении перемещения. Если Функция Лангранжа симметрична относительно этой группы, то компонент кинетического импульса подобного движения остается постоянным. Сдвиг по времени соотносится подобным же образом с законом сохранения энергии. Вращательные движения соотносятся с законом сохранения момента импульса. Благодаря подобного рода соответствиям, при надлежащем их применении, мы способны получать научные предсказания, наделенные глубоким физическим смыслом, соответствующим представлениям множества физиков о том, что в целом принципы классической механики определяются подобными законами сохранения. Знаменитый закон Эйнштейна о связи энергии и массы представляет собой прямое последствие теоремы Нетера, что в разработках группы Пуанкаре получило имя принципа четырехмерной конструкции пространство-время Минковского, так теорема Нетера играет гораздо более важную роль для современной физики, и не только механики, но и, что более существенно, квантовой теории электромагнитного поля.
Для математического выражения физических законов необходима такая вещь как условия пределов подобного соответствия. Но эти ограничения сами собой представляют уже до-физические посылки; в той степени, в которой они являются существом сделанных уже нами ограничений, они не отражают никаких объективных особенностей собственно действительности. Хотя, таким образом, ради достижения объективности описанию и необходимо использовать систему координат, подобные координаты представляют собой устраняемое условие в том смысле, что они порождают ковариантные описания и в случае допустимой замены систем координат. Однако высказанное нами замечание более существенно в том смысле, что подобный факт имеет определенные физические последствия, то есть последствия связанные с тем, что объекты представляют собой (определенные условием соблюдения законов сохранения) тот предмет, с которым работает теория. В подобном контексте мы начинаем понимать что имел в виду Клиффорд, когда он сказал, что "физика это геометрия" и Эйнштейн, когда он сказал, что "объективность это ковариантность". Для явления физики, как для классической, так и для современной, наиболее характерно построение описаний, использующих геометрические концепции. В конечных моделях это находит свое выражение в том, что физически важные количества оказываются в точности теми, что допускают инвариантность в тех преобразованиях, о которых мы уже сказали выше; такие количества действуют на положении встроенных элементов физических представлений. Когда теоретические представления обобщаются, например тогда, когда классические представления сменяет теория относительности, размер группы совместимых преобразований возрастает. Степень обобщенности получаемого описания увеличивается и количественные пропорции, до того понимавшиеся несвязанными, обнаруживают теперь закономерную связь друг с другом.
Физика здесь требует большего парадигмального насыщения в сравнении с тем, что ей просто могут дать геометрические структуры. Например, в классической Ньютоновской механике понятие силы наделяется действительным (не относительного уровня) физическим содержанием (поскольку ускорение представляло собой инвариант, относящийся к предмету Галилеевых преобразований). В общей теории относительности сила становится, напротив, относительной количественной мерой, связанной с величиной скорости. Такая связь наблюдается потому, что в понимании теории относительности пределы существенности расширяются до рамок огромной группы диффеоморфизмов пространство-время. Принцип ковариантности нужно представлять себе как уровень большей ограниченности в сравнении с инвариантностью, обеспечивающей расширение рамок группы взаимоувязанных преобразований.
Физика в противовес Онтологии.
С появлением группы относительностей и теоремы Нетера мы можем видеть как далеко уходит современная физика от онтологических представлений традиционного порядка. Для Лейбница существенность в физическом смысле все еще представляла собой материальность и первичную материю, лежащую в ее основе, и механика представляла собой только математическое описание некоторых частностей, посредством которых эта материальность проявлялась. В послеНьютоновской (классической) механике, однако, появляется представление, совпадающее с Аристотелевской идеей мира материальностей. Таким образом для Канта, в его "Метафизических причинах начал естествознания" категория материи представляла собой понятие, выражающее не более чем условие возможного постоянства физических количеств. Концепция материи стала в дальнейшем более значимой нормативной функцией в качестве способа выражения системности и математически выражаемой организации феноменальной среды, опирающейся на законы сохранения.
Второй аспект пост-Галилеевского отклонения от Аристотелевской онтологии отражен в смещении предмета изучения с качественных на количественные аспекты действительного. "Наблюдаемое", в понимании современной физики, означает измеряемое. Но для того, чтобы нечто могло быть измеряемо, должна быть осуществлена возможность сохранения некоторых определенных идеальных условий. Несколько упрощая, мы можем думать о том, что порядок наших представлений накладывается на сами феномены, и что подобным образом некоторая налагаемая нами стабильность определяет тот род теории, к которой мы в конечном счете приходим.
Теперь мы можем сказать что физика после-Галилеевского типа не способна выражать перед нами идею онтологии в классическом смысле. Пост-Галилеевская физика содержит, тем или иным образом, некое неэлиминируемое Кантианское измерение. Действительно, некоторые математики и физики, прежде всего Пуанкаре, выдвинули требование, что относительные и инвариантные группы представляют собой в априорном порядке Кантианскую синтетичность. Современная физика превращается в квантифицируемую и концептуально-формальную реконструкцию действительности, унифицированную систему математической регулярности, определяющую проявления материи, реконструкцию, не содержащую даже самой малой доли зависимости от тех ограничений, благодаря которым существенные количества обладали бы способностью надлежащей свободы приложения. Подобный порядок, этакое Кантианское измерение, не представляет собой ни психологической, ни познавательной природы: оно связано лишь с существованием симметрий в геометрии и физике. Как уже понял Лейбниц, симметрии представляют собой нечто фундаментальное в природе физического феномена: неразличимость это есть не просто свойство нашего познания, это - характеристика физической системы.