Сразу же заметим, что этот парадокс работает на человечество уже более полувека. Он лежит в самих субстратных основах всей цифровой вычислительной техники – этого ядра современных информационных технологий. Правда, сама эта техника и информационные технологии не осознают данного факта. И это, наверное, соответствует истинному положению вещей – парадокса на самом деле нет. Если бы он был в действительности, то вряд ли бы вычислительная техника породила современные информационные технологии и позволила получать адекватные результаты. Можно сказать, что практика не подтверждает существование парадокса "Лжец" как логического противоречия.
Рассмотрим три ипостаси кибернетической модели парадокса "Лжец": идеальную, реальную и истинную. Начнем с идеальной модели.
Субстратной основой цифровой вычислительной техники является тот или иной функционально полный набор логических элементов, или операций. В частности, таким набором может быть набор из двух элементов – элемента НЕ (логического инвертора) и конъюнктора &. Из этих элементов могут строиться любые цифровые устройства для переработки информации. Нас интересует элемент НЕ. Он имеет один вход x и один выход y и выполняет логическую операцию отрицания: y=неx. Поскольку рассматривается идеальная ипостась модели парадокса, то инвертор полагается идеальным, то есть таким, в котором информация со входа на выход проходит без задержек. Легко видеть, что если соединить выход y инвертора НЕ с его входом x, то такой инвертор (инвертор с обратной связью) будет моделировать парадокс "Лжец" в форме Я=(Я=Л)=неЯ. Действительно, инвертор с обратной связью реализует функцию y=неy, а при y=Я он моделирует функцию лжеца Я=неЯ. Это идеальная ипостась модели. В цифровой вычислительной технике проверку схем на правильность их функционирования проводят путем их моделирования. В правильной схеме все ее элементы показывают на своих выходах уровни логических нулей 0 и единиц Е. Одним из уровней сигналов, указывающих на ошибки в схеме, является уровень неопределенности Н. Этот уровень является результатом соединения выходов двух (и более) логических элементов между собой, когда на выходе одного логического элемента имеет место уровень логической единицы, а на выходе другого – уровень логического нуля. Так вот, идеальный инвертор с обратной связью показывает на своем выходе y тот же сигнал ошибки Н. Как это может быть? А может это быть следующим образом. При очень детализированном рассмотрении процесса перехода инвертора из одного логического состояния в другое операция инвертирования входного сигнала x протекает по закону инвертирования в многозначной логике: y=неx=Е-x. Здесь запись Е-x означает обычное арифметическое вычитание. При этом все многозначные логические уровни заключены между Е и 0. В двузначной логике, как мы уже говорили, уровню Е сопоставляется логическая 1, а уровню 0 – логический 0. Если на входе xсигнал x пробегает все значения от 0 до Е, то на выходе y в то же самое время сигнал y=Е-x пробегает значения от Е-0=Е до Е-Е=0. В инверторе с обратной связью на выходе устанавливается сигнал y=неy=Е-y=> y=Е/2. Именно этот сигнал и является сигналом ошибки Н=Е/2, поскольку он является средним значением сигналов y1=Е и y2=0 на соединенных друг с другом выходах двух элементов: (y1+y2)/2=(Е+0)/2=Н. Таким образом, идеальная модель парадокса "Лжец" в форме Я=(Я=Л) показывает, что эта форма является ошибочной. данный результат согласуется с классической логикой и подтверждает наш вывод о неадекватности этой высказывательной формы.
Перейдем к реальной модели парадокса "Лжец". В идеальной модели использовался идеальный логический инвертор, в котором как время прохождения сигнала со входа на выход, так и время перехода из одного состояния в другое были равны нулю. В реальном инверторе эти времена отличны от нуля. Закон функционирования реального инвертора получают посредством замещения реального инвертора его эквивалентом. Одним из таких эквивалентов является схема, состоящая из элемента задержки входного сигнала x на время dtи идеального инвертора. Для наших целей достаточно именно этого эквивалента. Его функционирование описывается простым выражением y(t)=неx(t-dt). Кроме этого, нам удобно рассматривать функционирование реального инвертора, полагая временную задержку dt единичной, а само время дискретным. Тогда вместо y(t) можно писать yi, а вместо x(t-dt) – xi-1. Соответственно реальный инвертор будет моделировать зависимость yi=неxi-1. Соединив выход y такого инвертора с его входом x, получим для его закона функционирования зависимость yi=неyi-1. Это и есть реальная модель парадокса "Лжец". Действительно, сначала мы замечаем, что, полагая y=Я, будем иметь Яi=неЯi-1. Затем вспомнив, что выше, рассматривая истинное положение вещей в отношении парадокса "Лжец", мы дали правильное его описание: получив соотношения Я1=(Я=Л)=неЯ, Я2=(Я1=Л)=неЯ1, мы остановились и заметили, что Я2=неЯ1=не(неЯ)=Я. Здесь же мы не будем останавливаться на этом, а продолжим описание самоприменимости с одновременным утверждением лжи о себе, а именно: Я3=(Я2=Л)=неЯ2, Я4=(Я3=Л)=неЯ3, ..., Яi=(Яi-1=Л)=неЯi-1, ... . нетрудно видеть, что именно эту последовательность и моделирует реальный инвертор с обратной связью. Причем, все четные ее высказывания Я2, ..., Я2n, ... тождественны самому субъекту Я, а нечетные – Я1, Я3, ..., Я2n+1, ... – его отрицанию неЯ, то есть на самом деле имеет место последовательность неЯ=>Я=>неЯ=>Я=>... (здесь и дальше стрелки – это не импликации). если в данной последовательности все пары неЯ=>Я обозначить через А, то она примет вид тавтологии А=>А=>А=>..., или вид повторяющегося тождественно-истинного высказывания в форме Евбулида. Тождественно-истинное же высказывание, независимо от того, сколько раз оно повторяется, парадоксом не является. Наблюдая только за парой А, мы тем самым не будем замечать последовательности, или, диалектически, мы тем самым снимем регресс в бесконечность. Таким образом, реальная модель парадокса "Лжец" подтверждает отсутствие противоречия в высказываниях "Я – лжец" и "Я лгу".
последовательность неЯ=>Я=>неЯ=>Я=>... в терминах цифровой вычислительной техники есть периодическая последовательность логических нулей и единиц, или на инженерном языке – периодическая последовательность импульсов. Поэтому реальная модель парадокса "Лжец" есть не что иное, как логический генератор, или – генератор импульсов. Без него не будет работать ни один компьютер, ни одно цифровое вычислительное устройство. Это – один из двух фундаментальных элементов компьютерной техники. Другим ее фундаментальным элементом является истинная модель парадокса "Лжец". К ней и перейдем.
Истинная модель легко конструируется по истинному описанию парадокса "Лжец", полученному выше в виде двух выражений Я1=(Я=Л)=неЯ и Я=(Я1=Л)=неЯ1, и с использованием либо идеального инвертора, либо реального инвертора, что для нас одно и то же. Мы будем подразумевать идеальный инвертор. Легко видеть, что для реализации первого высказывания Я1=неЯ нужен один инвертор, на вход которого надо подать значения второго высказывания Я=неЯ1, что позволит получить на выходе y1 этого инвертора значение Я1 первого высказывания. Подав это значение Я1 на вход второго инвертора, мы получим на его выходе y значение Я второго высказывания. Так как результат Я второго инвертора подается на вход первого инвертора, то мы получаем схему из двух инверторов, соединенных в кольцо. Что это такое? Это логический элемент с двумя устойчивыми состояниями: 1) при Я=Л имеем Я1=И и соответственно y=0 и y1=Е – это одно устойчивое состояние; 2) при Я=И будем иметь Я1=Л и соответственно второе устойчивое состояние y=Е и y1=0. В вычислительной технике он называется элементом памяти или триггером. Микропроцессор любого компьютера в среднем состоит на половину из логических элементов и на половину из триггеров. И что же моделирует триггер? Триггер моделирует тождественно-истинное высказывание (Я=((Я=Л)=Л)), называемое парадоксом "Лжец" в форме Евбулида. важно заметить, что истинная и реальная модели парадокса "Лжец" изоморфны. Действительно, состоянию (неЯ,Я) истинной модели соответствует пара А=(неЯ=>Я) реальной модели и наоборот.
Что показывают кибернетические модели парадокса "Лжец"? первое: идеальная модель показывает, что высказывательная форма Я=(Я=Л) является ошибочной, чем подтверждается нарушение закона классической логики – закона тождества. Второе: реальная модель последовательностным образом моделирует евбулидовскую тождественно-истинную формулировку парадокса "Лжец". Третье: то же самое моделирует и истинная модель, но уже не последовательностным образом, а параллельным. Четвертое: реальная и истинная модели "парадокса "Лжец"" подтверждают отсутствие парадокса, или, что то же самое, подтверждают отсутствие противоречий как в высказывании "Я – лжец", так и в высказывательных формах Я1=(Я=Л), Я=(Я1=Л) и Я=((Я=Л)=Л).
резюмируя вышеизложенное, мы должны сказать следующее.