Указанное различие синтактического и семантического измерений позволяет различить понятия структуры и трансцендентальной схемы, вводимой в "Критике чистого разума". Схему, на наш взгляд, уместно рассматривать как коррелят готового правила. Схема всегда задана вместе с понятием рассудка и использование схем есть задача определяющей способности суждения. Структура еще не задана, а должна быть угадана рефлектирующей способностью суждения, однако будучи раз угадана, она становится схемой.
Рассмотрев, таким образом, онтологические категории, мы видим, что математическая онтология имеет естественную лингвистическую (или, по крайней мере, семиотическую) интерпретацию. Ранее мы говорили, что решение задачи, рассматриваемое как построение объемлющего дискурса, есть способ установить существование некоторого объекта. Теперь мы видим, что решение вопроса о существовании связано с переменой семиотического статуса языкового знака, переход их сферы семантики в сферу синтаксиса. Объект, существование которого установлено, сам может быть предъявлен в виде знака. Если до построения речь шла об отношении знака к смыслу (к невыявленной еще структуре), то после него это же самое отношение уже может быть рассмотрено как отношение знаков.
1. Можно сказать, что конструирование есть необходимое условие понимания. Что же касается формулирования общих правил, то оно возможно и при полном непонимании - Кант довольно едко писал о том знании, которое осуществляется только как общее. Способность усматривать правила "лишь в абстрактной форме" он связывает с недостатком способности суждения, а "недостаток способности есть собственно то, что называют глупостью; против такого недостатка нет лекарства." Далее он пишет: "Тупой или ограниченный ум, которому недостает достаточной силы рассудка, может, однако, с помощью обучения достигнуть даже учености. Но так как вместе с этим подобным людям недостает способности суждения, то не редкость встретить ученых мужей, которые, применяя свою науку, на каждом шагу обнаруживают этот непоправимый недостаток" (B173 - сноска).
2. Выражение Чарльза Морриса. В работе "Основания теории знаков" он рассматривает три "измерения семиозиса", различая в каждой знаковой системе отношения знаков между собой (синтактика), отношение знаков к объектам (семантика) и отношение знаков к интерпретаторам (прагматика) ([36], c.42). Это "третье измерение", впрочем, едва ли может иметь отношение к нашему исследованию.
3. Выше мы использовали слово "знак" для обозначения некоторого минимально различимого объекта, конструируемого, например, в алгебре или арифметике. Там он мог рассматриваться также и как имя. Говоря при этом о знаковом конструировании мы лишь указывали на особый способ пространственно-временной деятельности, несколько отличной от конструирования геометрических фигур. Однако знак, понятый как элемент такого конструирования, может являться также и языковым знаком, поскольку участвует в создании дискурса. Языковой знак, следовательно, составляет более широкое понятие, чем просто знак. Языковым знаком является всякое выражение языка (языковая конструкция), имеющее смысл.
Список литературы
Аврелий Августин. Исповедь. Москва, Renaissance, 1991
Аристотель. Метафизика. Москва-Ленинград, 1934, перевод А.В.Кубицкого
Аркадьев. М.А. Временные структуры новоевропейской музыки. М. 1992
Барабашев А.Г. Треугольник Фреге и существование математических объектов //Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 2(37), Москва, Янус-К, 1997
Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. Москва, "Издательство Московского Университета", 1981
Беркли Дж. Трактат о принципах человеческого знания //Беркли. Сочинения. Москва, "Мысль", 1978, с. 149-247
Беркли Дж. Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику //Беркли. Сочинения. Москва, "Мысль", 1978, с. 395-442
Беркли Дж. Алкифрон, или мелкий философ. СПб., "Алетейя", 1996
Боэций. Комментарий к Порфирию //Боэций. Утешение Философией и другие трактаты. Москва, "Наука", 1990, с.5-144
Бурбаки Н. Архитектура математики //Бурбаки Н. Очерки поистории математики. Москва, "Издательство иностранной литературы", 1963, с. 245-259
Вейль Г. Математическое мышление. Москва, "Наука", 1989.
Гедель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с.299-305
Гейтинг А. Интуиционизм. Москва, "Мир", 1965.
Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с. 77-153
Гильберт Д. О понятии числа //Основания геометрии. Москва, 1948, с.320-322
Гильберт Д. Об основаниях логики и арифметики //Основания геометрии. Москва, 1948, с.322-337
Гильберт Д. О бесконечном //Основания геометрии. Москва, 1948, с.338-352
Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. Москва, "Наука", 1979
Гутнер Г.Б. Интерпретация существования в математике //Философские исследования, N 1, 1995, с.212-225
Гутнер Г.Б. Онтология математического рассуждения //XI Международная конференция по логике, методологии и философии науки. Обнинск, 1995.
Гутнер Г.Б. Дискретность и непрерывность в структуре математического дискурса //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М. "Янус-К", 1997, с. 242-265
Декарт Р. Правила для руководства ума. //Декарт. Сочинения в 2 томах, т.1, Москва, "Мысль", 1989, с.77-153
Декарт Р. Первоначала философии. //Декарт. Сочинения в 2 томах, т.1, Москва, "Мысль", 1989, с.297-422
Декарт Р. Геометрия. Москва-Ленинград, ГОНТИ, 1938
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Москва, "Наука", 1978
Каган В.Ф. Основания геометрии, ч.II, Москва, 1956 г.,
Кант И. Критика чистого разума. Санкт-Петербург, "Тайм-Аут", 1993
Кант И. Критика способности суждения. Москва, "Искусство", 1994
Кант И. Пролегомены. Москва, ОГИЗ, 1934.
Кант И. Трактаты и письма. Москва, "Наука", 1980
Кантор Г. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985
Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции. Изд. "Шиповник", Спб. 1912
Кричевец А.Н. Априори, способность суждения и эстетика //Вестник Московского Университета, Серия 7, Философия. 1996. N3, с.41-50
Кушнер Б.А. Принцип бар-индукции и теория континуума у Брауэра //Закономерности развития современной математики. Москва, "Наука", 1987, с.230-250.
Майоров Г.Г. Судьба и дело Боэция // Боэций. Утешение Философией и другие трактаты. Москва, "Наука", 1990, с.315-413
Моррис Ч.У. Основания теории знаков. // Семиотика. Москва, "Радуга", 1983, c. 37-89
Мулуд Н. Современный структурализм. Размышления о методе и философии точных наук. Москва, "Прогресс", 1973
Панов М.И. Интуиция, логика, творчество. Москва, "Наука", 1987.
Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. Москва, "Наука", 1984
Платон. Парменид. // Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 2. Москва, "Мысль", 1993, с. 346-412
Платон. Филеб. // Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 3. Москва, "Мысль", 1994, с. 7-78
Платон. Государство.// Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 3. Москва, "Мысль", 1994, с. 79-420
Платон. Тимей. // Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 3. Москва, "Мысль", 1994, с. 421-500
Пойа Д. Математика и правдоподобное рассуждение. Москва, Издательство Иностранной Литературы, 1957
Пойа Д. Математическое открытие. Москва, "Наука", 1970
Поппер К. Логика и рост научного знания. Москва, 1983
Поппер К. Нищета историцизма. Москва, "Прогресс" 1993
Пуанкаре А. О науке. Москва, "Наука", 1983
Родин А.В. Теорема //В печати
Рузавин Г.И. Гильбертовская программа и формалистическая философия математики.//Методологический анализ оснований математики. Москва, "Наука", 1988, с.108-168
Смирнова Е.Д. Логика и философия. Москва, "Росспэн", 1996
Спиноза Б. Этика. Москва-Ленинград, 1934, перевод А.К.Топоркова
Степанов Ю.С. Основы общего языкознания. Москва, "Просвещение", 1975
Степанов Ю.С. Альтернативный мир, Дискурс, Факт и принцип Причинности // Язык и наука конца 20 века. Москва 1995, с.35-73
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Москва, "Мир", 1966.
Черняк В.С. Интуиция и математическая структура //Вестник Московского Университета, Серия 7, Философия. 1969. N3, с.44-52
Черняк В.С. Формализм Гильберта и кантова концепция математики//Методологические проблемы современной науки. Москва, 1970. с. 174-209
Черняк В.С. История. Логика. Наука. Москва, "Наука", 1986
Черняк В.С. Структуралистские концепции истории науки //Принципы историографии естествознания, Москва, "Наука" 1993, с.296-314
Шапошников В.А. Математические понятия и образы в философском мышлении (на примере философии П.А.Флоренского и философских идей представителей Московской математической школы). Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук. Москва, МГУ, 1996.
Шеллинг Ф.В.Й. Система трансцендентального идеализма // Шеллинг Ф.В.Й. Сочинения в двух томах, т.1, с.227-489
Шляхин Г.Г. Соотношение понятия и индивида в математическом знании// Методологический анализ математических теорий. Москва, 1987, с. 184-192
Bernays P. On Platonism in Mathematics// Beneceraff and Putman (eds.) Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983 p. 258-271
Brittan G. Algebra and intuition // Kant's Philosophy of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, Netherland, 1992, p.315-339.
Brouwer L.E.J. On the foundations of Mathematics //Collected Works. V.1. Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam - Oxford - New York, 1975, p.11-101
Brouwer L.E.J. Guidelines of Intuitionistic Mathematics// Ibid., p. 477-507
Brouwer L.E.J. Historical Background, Principles and Methods of Intuitionism // Ibid., p.508-515
Cassirer E. The concept of Group and the Theory of Perception // Philosophy and phenomenological research. Vol. V, No.1, September, 1944.
Godel K. Russel's Mathematical Logic. // Beneceraff and Putman (eds.) Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983 p.447-469
Godel K. What is Cantor's Continuum Problem // Beneceraff and Putman (eds.) Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983 p.470-485
Goutner G. Transcendental synthesys as the foundation of mathematical discourse //VII Кантовскиечтения. Калининград, 1995.
Friedman M. Kant and the Exact Sciences. Harward University Press, 1994
Hale B. Structuralism's Unpaid Epistemological Debts //Philosophia Mathematica (III). Vol. 4, N 2 p. 124-147
Hintikka J. Kant on the Mathematical Method // Monist 51(1967)
Jesseph D.M. Berkley's philosophy of mathematics. Chicago, University of Chicago press, 1993
Leppakoski M. The transcendental How. Almqvist & Wiksel International, Stockholm, 1993
Maddy P. Realism in Mathematics. Clarendon Press, Oxford, 1990
Proclus de Lycie. Les commentaires sur le premier livre des elementes d'Euclide. Desclee de Brouwer et Cie, Bruges, 1948
Parsons C. Kant's Philosophy of Arithmetic // Philosophy, Science and Method: Essays in Honor of Ernst Nagel, New York, 1983
Parsons C. Mathematics in Philosophy. N.Y. 1983
Resnik M.D. Structural Relativity // Philosophia Mathematica (III). Vol. 4, N 2 p. 81-99
Shapiro S. Space, Number and Structure: a Tale of Two Debates // Philosophia Mathematica (III). Vol. 4, N 2 p. 148-173
Young J.M. Construction, Schematism, and Imagination //Kant's Philosophy of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, Netherland, 1992, p. 159-175