Х.Филд7 полагает, что математических объектов не существует, что стандартная математика ложна, но при этом он стремится сохранить математическую практику. Для этого он снабжает физическую реальность значительной математической структурой и описывает физические версии анализа. Математические утверждения типа 'континуум гипотезы' оказываются утверждениями об областях пространства и времени.
Такая позиция возможна лишь при некоторой сильной версии номинализма. Техническим средством выражения такого номинализма является так называемая 'теорема консервативности', суть которой в том, что любое номиналистическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики. Таким образом, в математической практике делается указание на математические сущности, но нет необходимости верить в существование таких вещей, поскольку указание подобного рода не требует признания математических утверждений истинными.
Таким образом, Филд полагает математические теоремы просто ложными, а математические объекты - полезными фикциями, которые в теоретическом смысле вполне устранимы.
Теория Филда не только радикальна, но и в значительной степени парадоксальна, так как соединяет в себе логицизм и номинализм. Логицизм виден в самой 'теореме консервативности', согласно которой математический вывод можно в принципе заменить более длинным логическим выводом.
Под номиналистической теорией Филд понимает теорию, в которой кванторные переменные ограничены нематематическими сущностями. Другими словами, нелогический словарь номиналистической теории не пересекается со словарем математической теории и, значит, абстрактные объекты математики избегаются. Более точно, пусть N - номиналистическая теория первого порядка, а ZFU - теория множеств Цермело-Френкеля с Urelemente. Тогда может быть показано, что если N + ZFU дает S, тогда N дает S.
На самом деле, тут требуется некоторая модификация ZFU, в частности добавление к ней некоторых экзистенциальных аксиом и изменение аксиомы множества-степени, что позволяет связать математическую теорию с номиналистической теорией.
Ф.Китчер8 полагает математику цепью непрерывных концептуальных конструкций и в этой связи развивает эволюционную модель математического познания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного рода исследовании предстает история математики, из которой следует извлечь некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальными изменениями по ходу развития математики. Ясно, что философия Т.Куна занимает в позиции Ф.Китчера самое значительное место.
Кроме того, Китчер прибегает в объяснении математического познания к причинной теории указания Крипке-Патнэма, согласно которой значение термина прослеживается через цепь изменений к некоторому исходному акту употребления термина. Рано или поздно эта цепь опирается на перцептуальное познание наших предшественников-предков. В этом ключе, утверждая важность психологии, Китчер отказывается от эпистемологической ориентации в исследовании природы математических истин. Если обычная позиция в философии математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих истин, то Китчер полагает, что большая часть людей уже знает значительную часть математических истин, и задача философского исследования состоит в том, чтобы понять, как мы получаем это знание.
Следует упомянуть также попытку Ч.Чихары9 дать объяснение математических сущностей не в рамках теории теории множеств, а в рамках теории типов. Дж.Хеллман10 и Х.Филд11 прибегают для объяснения математических сущностей к модальной логике, полагая их скорее возможностями, нежели актуальностями.
Самым важным обстоятельством при этом является то, что в основе всех подходов лежит апелляция к перцептуальному опыту, понимаемому в самом широком смысле слова. Ведь даже при номинализме Филда эпистемический доступ к областям пространства-времени, в которых зиждятся математические структуры, оказывается все-таки перцептуальным доступом. Наиболее характерны в этом отношении работы П.Мэдди12. Она считает, что предполагаемые платонистскими сущности могут быть доступны обычному восприятию.
Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подобны физическим сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Множество физических предметов Мэдди отличает от физической совокупности этих же предметов. Каждый предмет соотносится с физической совокупностью совсем по-другому по сравнению с тем, как он соотносится с множеством этих предметов. Физические совокупности не имеют членов, в то время как множество определяется отношением членства. Именно по этой причине множество является абстрактным объектом, который, тем не менее, предполагается локализованным в том же месте пространства, в котором локализована физическая совокупность.
Следует еще раз подчеркнуть, что подобная трактовка множеств возможна за счет эпистемологических трактовок восприятия, развитых в самое последнее время. Так, согласно одному из определений, субъект Р воспринимает объект К в месте Н, если и только если, во-первых, имеется объект, принадлежащий виду К в месте Н, во-вторых, Р приобретает перцептуальное знание о виде К, и, в-третьих, объект в месте Н включен в процесс порождения состояния перцептуальной веры подходящим причинным образом. Не входя в подробности этого определения, отметим, что оно является лишь одним из нескольких подходов к определению перцептуального восприятия, и не ясно, в какой степени трактовка Мэдди множеств как перцептуально воспринимаемых объектов будет оправданной при других определениях восприятия.
Таков весьма краткий перечень основных направлений в философии математики сегодня. Недостаток места не позволяет привести критические аргументы в отношении каждой из упомянутых позиций. Но как нам кажется, эпистемологический вызов философии математики, инициированный П.Бенацеррафом, принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой области философии.
Целищев В. В.
Списоклитературы
1 Mostowski A. Thirty years of foundational studies//Acta Philosophica Fennica, Fasc. XVII. - Helsinki, 1965. - p.8.
2 Ibid.
3 См.: Maddy P. Philosophy of Mathematics: Prospects for the 1990s//Synthese 88. 1991. - p.155-164.
4 См., например: Balaguer M. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics. - Oxford University Press, 1998.
5 Benacerraf P. What Numbers Could Not Be//Philos. Rev. - 1965. - V.74, ?1; Id. Mathematical Truth//Journ. Philos. -1973. - P. 403-419.
6 Shapiro S. Foundations without Foundalism. - Oxford University Press, 1997. Resnik M. Second-Order Logic Still Wild//Journ. Philos. - 1988. - P. 75.
7 См.: Field H. Science without Numbers. - Princeton University Press, 1980.
8 Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford University Press, 1983.
9 Chihara Ch. Constructibility and Mathematical Existence, Oxford University Press. - 1990.
10 Hellman G. Mathematics without Numbers. - Oxford University Press. - 1989.
11 Field H. Realism, Mathematics and Modality. - Basil Blackwell. - 1989.
12 Maddy P. Realism in mathematics. - Clarendom Press. - 1990.--