Необходимость следования третьего утверждения из двух первых появляется только тогда, когда от естественного мира мы переходим к миру искусственному, конструируемому нами. Там мы можем вводить принцип всеобщего значения: "всегда" – это значит во всех сконструированных нами случаях, причем особым образом сконструированных. Лишь затем, обратным движением, этот принцип приобретает значение нормы и для всех естественных случаев. Тогда он скрывает в себе индуктивную неопределенность массы эмпирических случаев. Поскольку мы теперь апеллируем уже к принципу, эта неопределенность теряет свой явный характер.
Вместе с тем происходит перевертывание оснований. Вы утверждаете, что если вторая величина больше первой, а третья больше второй, то третья будет также больше первой. А если вдруг случится в какой-то эмпирической области, что это не так, вы скажете тогда, что то, с чем вы имеете дело, не величины.
После того, как вы сформулировали такой общий принцип, вы получаете возможность выводить из первых двух посылок третью. И вы говорите, что первые два утверждении – основание или причина, а третье утверждение – следствие. Здесь совершенно отчетливо выступает та форма представления объективной действительности, которую создает этот принцип благодаря своей структуре "если..., то..." (ср. это с очень интересными рассуждениями А.А.Зиновьева в его работе "Логическое и физическое следование").
Эти общие принципы получили название аксиом вывода, и каждый тип вывода предполагает свою особую аксиому. А сам по себе тип вывода характеризуется рядом признаков, фиксируемых в правилах. Пример: правило, запрещающее учетверение терминов силлогизма.
Значит, условием появления вывода как некоторого формального перехода от одних знаний к другим является появление особого знания, которое выражает само правило перехода. Только в этих случаях появляется вывод или умозаключение.
Опираясь на это понятие, мы можем теперь по-новому взглянуть на рассуждения Галилея и Гюйгенса. В частности, мы можем выяснить, что у них не было вывода – у них было рассуждение.
Если теперь мы опять вернемся к выводу, то окажется, что обязательным и непременным его условием является однозначность в значениях терминов. Именно это условие Аристотель оговорил в правиле, запрещающем учетверение терминов. Что касается рассуждения, то оказывается, что этот принцип на него уже не распространяется. Наоборот, термины в рассуждении, как выясняется, должны непрерывно и непременно менять свои значения.
Непонимание разницы между выводом и рассуждением приводит современных апологетов так называемых точных выводов и методов к смешным ошибкам и заблуждениям. Например, они говорят, что необходима символизация словесных рассуждений, ибо только символизировав термины, мы сможем придать им точно фиксированные и неменяющиеся значения. Они считают, что движение, или рассуждение, в обычном словесном языке не удовлетворяет принципам точности и поэтому является плохим.
Между тем справедливо противоположное: если в рассуждении смысл терминов не будет меняться, то это значит, что рассуждение просто никуда негодное и не решает той задачи, ради которой оно ведется. Рассуждение есть движение, в котором строго закономерным образом меняются значения и смысл терминов.
Именно этим объясняется то, что все попытки символизировать словесные рассуждения кончились полным крахом и рассуждения ведутся по-прежнему на обычном словесном языке. А все, что в этих рассуждениях символизируется, выступает уже не в роли знаковой формы, а в роли объектов оперирования. Словесный язык тем и силен, что входящие в него знаки могут употребляться для движения сразу по нескольким плоскостям замещения, следовательно, для фиксации сразу нескольких различных значений, для соединения их друг с другом. Объекты в рассуждении, напротив, никогда не обладают этим свойством, и оно им не нужно.
Правда, здесь еще необходимо выяснить, при каких условиях знаки того или иного рода могут выступать в роли исключительно объектов. Оперирование знаками как объектами было очень четко выявлено Давидом Гильбертом и исследовалось им. Это превращение знаков формы в знаки-объекты является вторым непременным условием формального вывода и формализации теорий.
Представьте себе двухплоскостную систему, в которой знаки верхней плоскости приобретают строго определенные единственные значения, независимые от их реальной отнесенности к объектам и содержаниям нижней плоскости. При этом условии они могут быть оторваны от нижней плоскости и стать объектами. Если это произошло, то мы можем сформулировать некоторые общие правила движения в знаках-объектах, независимые от их реального содержания, и поместить эти правила как бы над системой этих значков. Тогда все движения в них, все преобразования будут совершаться совершенно формально в соответствии с правилами. На этом построена вся работа по формализации систем знания.
Таким образом, вся область рассуждений разбита нами теперь на две подобласти. Во второй – находится особый вид рассуждений: выводы. Силлогистика Аристотеля является видом выводов. Таким образом, мы приходим к двум группам вопросов:
какой же будет структура неформализованных рассуждений и как ее изображать?
что представляют собой другие виды формализованных рассуждений, отличные от силлогистики, и как они исследовались в истории науки?
Начнем со второго вопроса. В период, когда строил свою логику Аристотель, математика еще не имела такого развития, какое она получила в дальнейшем. Поэтому ее удельный вес в общей системе рассуждений был невелик. Аристотель формализовал широко распространенную словесную часть рассуждений, и в то время казалось, что таким образом охвачена вся основная часть рассуждений.
Но в дальнейшем, когда начала развиваться математика, то она, по сути дела, занималась тем же самым, чем Аристотель занимался для словесных рассуждений. При этом вполне возможно, что математики принимали в качестве нормы для своей работы схемы, выработанные Аристотелем, а возможно, что и нет. Во всяком случае продукт получился такой же: некоторые правила для построения выводов, содержащих символы математики. Можно сказать, что область, захваченная математикой, это область формализации других, не силлогистических выводов.
Между прочим, в этом заключено объяснение того странного положения – о нем говорил Кант, – что логика достигла полного совершенства, не отступила ни на шаг назад, хотя и не продвинулась вперед. Основание этого заложено в том, что формальная логика стала одним из математических исчислений.
Значит, историческое движение может быть представлено таким образом. Появилась логика, ее работа заключалась в том, что она формализовала один вид рассуждений, а именно силлогические умозаключения. И на этом остановилась, хотя тогда же, при стоиках и дальше, были уже обнаружены другие виды умозаключений и выводов, в частности то, что стоики называли рассуждениями не по методу. Но логика не пошла по пути формализации этих новых видов рассуждений. Прежде всего, по-видимому, из-за того, что эти рассуждения уже были захвачены математиками и формализованы в форме математики. Успех математики был настолько очевиден, что в дальнейшем она продолжала эту работу, осуществляя экспансию во все новые и новые области. С этой точки зрения, алгебра и дифференциально-интегральные исчисления, аналитическая геометрия, матричные алгебры и т.п. – все это такие же виды формального и формализованного рассуждения, как и силлогистическое, но осуществляемые не словами, а на символах.
Но всякая математика, как известно, действительно характеризуется завершенностью, она полна и непротиворечива. В этом ее особенность. И если формальная логика – не что иное, как вид математического исчисления, то она тоже должна быть полной и завершенной, и, следовательно, И.Кант был совершенно прав, характеризуя таким образом формальную логику. Выражение Канта справедливо по отношению к любой уже построенной математике.
Понятным становится и то, почему в XIX столетии логика опять начала быстро развиваться и создала целый ряд новых формальных исчислений. Это объясняется тем, что Буль преодолел догматизм традиционных логических представлений и, совершив с их точки зрения ряд грубых ошибок, соединил логику по форме с математикой, прорвав таким образом существовавшие между ними в течение ряда веков границы. Логика взяла себе символические средства математики и таким образом открыла одно из своих исходных качеств – что она может пользоваться давно уже выработанными чисто математическими символами.
В то время еще казалось, что по характеру своего содержания логика является значительно более общей, чем всякая математика, и поэтому может рассматриваться как основание и фундамент всякого математического рассуждения. Исходя из этих мыслей, Б.Рассел, Уайтхед, Кутюра и др. пытались построить всю математику на базе понятий логики. Это была линия логизма. Но затем выяснилось, что это невозможно. Существенную роль в этом сыграл главный представитель интуитивизма Анри Пуанкаре, но решающий вывод был сделан Давидом Гильбертом: логика не может быть основанием математики. И та, и другая должны быть представлены в виде своих особых исчислений и должны употребляться вместе, наравне друг с другом.
Таким образом, был уничтожен второй разделительный рубеж между логикой и математикой. Фактически, уже получилось – хотя осознание этого отставало, – что математическая логика есть не что иное, как несколько частных разделов самой математики. Можно считать, что история закончила один из своих дурацких циклов и в конце концов разъяснила нам действительное положение вещей. Правда, это разъяснение пришло несколько поздновато – для всего цикла понадобилось более 2000 лет.