Во-вторых, понятие множества в прежнем, канторов-ском, смысле, как мы видели, оказалось затронутым парадоксами. Поэтому в настоящее время оно уточняется с помощью различных аксиоматических систем. Эти системы часто исходят из разных задач и оказываются взаимно несовместимыми. К тому же результаты Гёделя и П. Коэна свидетельствуют о возможности существования несовместимых друг с другом теорий множеств в рамках одной и той же аксиоматизации. Если мы согласимся включить такие несовместимые друг с другом аксиоматические теории множеств в состав логики, тогда последняя превратится в весьма запутанную и внутренне противоречивую науку.
В-третьих, против включения теории множеств и тем более всей чистой математики в состав логики свидетельствует и тот факт, что некоторые основные арифметические и теоретико-множественные понятия используются, хотя и неявно, уже в самом процессе построения формально-логических систем, которые впоследствии применяются для дедукции математики из логики. В самом деле, уже в исчислении высказываний мы апеллируем к счетно бесконечному списку пропозициональных переменных и других неопределяемых символов исчисления. Все это показывает, что хотя логика и необходима для построения чистой математики, но, с другой стороны, она уже предполагает некоторые фундаментальные понятия арифметики и теории множеств.
В-четвертых, сам характер логики как нормативного мышления предполагает, что эти мыслительные операции должны совершаться над некоторыми внелогическими объектами. Это обстоятельство справедливо подчеркивают как формалисты, так и интуиционисты. Утверждение Гильберта о том, что математика не может целиком основываться на логике. В качестве предварительного условия для применения логики он считает необходимым наличие определенных внелогических конкретных объектов. По мнению Карри, сказать, что математика есть логика,— это значит заменить один неопределенный термин другим.
Интуиционисты считают логику частью математики, а ее принципы наиболее общими теоремами математики. «Логические теоремы,— подчеркивает Гейтинг,— являются математическими теоремами. Логика не может служить основанием математики, напротив, она представляет концептуально усложненную и утонченную часть математики». Отношение между логикой и математикой, по его мнению, примерно таково же, как отношение между частными и общими утверждениями математики. Нo не всякое общее утверждение математики относится к логике.
Дискуссии, которые возникают в связи с отношением логики и математики, очень часто происходят из-за неопределенности исходных терминов. Не составляют здесь исключения и формально-логические системы, с помощью которых обычно пытаются осуществить дедукцию математики из логики. Действительно, в такой формализованной системе, как «Principia Mathematica», чисто логическая часть не отделена от математической. Естественно поэтому Рассел мог бросить вызов и заявить: «Если существуют люди, которые не допускают тождества логики и математики, мы можем поспорить с ними и попросить их указать нам, в каком пункте в последовательности определений и дедукций «Principia Mathematica» кончается логика и начинается математика» ".
Конечно, в такой ситуации спор окажется беспредметным. Но, как показал Д. А. Бочвар, в формализованной системе типа «Principia Mathematica» всегда можно выделить чисто логическую часть и специфическую, математическую. Он справедливо отмечает, что в логике мы никогда не имеем дела с индивидуальными предикатами, такими, как «быть числом», «конгруэнтный», «параллельный» и т. п. Когда логическая система включается в состав более обширной формализованной системы, в которой наряду с логическими терминами и предикатами встречаются математические, пусть даже неявно, то это не приводит к поглощению математики логикой.
Формализованная аксиоматическая теория математики, как и любой другой науки, обязательно содержит индивидуальные термины и предикаты специальной теории. Без них не было бы смысла говорить о применении логики к другим наукам. Не случайно поэтому при формализации математики говорят о логико-математических системах. «Математика,— резюмирует Д. А. Бочвар,— не выводима из формальной логики, ибо для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие определенные факты области объектов и прежде всего — существование в последней определенных объектов. Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой».
Все вышесказанное, на наш взгляд, достаточно убедительно показывает, что о приоритете логики над математикой нельзя говорить не только в генетическом отношении, т. е. в смысле исторического возникновения этих наук, но и в смысле обоснования математики всецело и исключительно с помощью понятий и принципов логики. Можно поэтому присоединиться к мнению американского философа Г. Мельберга, который считает, что между математическими и логическими понятиями существует симметрическое отношение, которое не может привести к установлению ассимметрического отношения приоритета логики над математикой ". В связи с этим он выдвигает взамен радикального и умеренного логицизма логицизм плюралистический.
Такой логицизм в сущности весьма далек от тех амбициозных программ, которые пытались осуществить основатели этого направления обоснования математики. Пожалуй, в нем сформулированы те рациональные идеи, которые остаются в результате критического анализа логицистической программы. Мельберг называет его плюралистическим потому, что он не дает никакой монополии какой-либо частной системе логики, будь то классическая двухзначная логика, или логика конструктивная, или какая-либо иная неклассическая логика.
Плюралистический логицизм особо подчеркивает роль логических законов при доказательстве теорем в аксиоматических системах математики. «Особенность математического познания, которую выделяет плюралистический логицизм,— пишет Мельберг,— состоит в том, что он подчеркивает, что для каждой математической теории существует некоторая логика, способная обеспечить необходимые средства дедукции всех существенных теорем этой теории, без обращения к какой-либо экстралогической интуиции». Тот факт, что логика играет решающую роль в развертывании математической теории, по его мнению, служит основанием для того, чтобы рассматривать эту концепцию как версию логицизма.
4. Заключение.
Анализируя работы Зенона, Пифагора, Платона, Канта, Рассела и других, можно сделать вывод о том, какой большой вклад внесла математика в философию. Мыслители не просто оперировали с числами, они пытались дать объяснение всей структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Они уделяли много внимания числовой символике. Многие философы ассоциировали числа с различными понятиями мира. Поэтому благодаря пониманию числовых отношений приходили к разгадке мироздания.
Об одностороннем влиянии математики на логику говорить трудно, это спорный вопрос. На протяжении многих веков шли споры об этом.
6. Литература.
1. Гайденко П. История новоевропейской философии в ее связи с наукой.
2. Гайденко П. История греческой философии в ее связи с наукой.
3. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики.
4. Ивин А.А. Логика.
5. Рассел Б. Логический атомизм.