Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства (стр. 25 из 32)
Ãëàâà 4
ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ, ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ ÈÇ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ
Äëÿ ïîíèìàíèÿ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé áèôóðêàöèîííûé ñöåíàðèé ïðèîáðåòàåò ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Àíàëèç ïðîöåññà Ôåðõþëüñòà ïðåâðàòèë èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà â âàæíûé ïðåäìåò îáñóæäåíèÿ è âûÿâèë íåêîòîðûå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü ïðàâèëüíî. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïóòè ê õàîñó; íà ñàìîì äåëå áûëè îòêðûòû è äðóãèå ñöåíàðèè ñòîëü æå îáùåãî õàðàêòåðà. Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîñòè îò÷àñòè îòðàæàåò òåíäåíöèþ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ èñïîëüçîâàòü ñëîâà, çâó÷àùèå ìíîãîçíà÷èòåëüíî.
Íà ñàìîì äåëå îíî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîå ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå óäèâèòåëüíàÿ íàõîäêà ñðåäè âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåì.
Êðàéíå æåëàòåëüíî óñòàíîâèòü ïðèíöèïû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó èíäèâèäóàëüíûìè ñöåíàðèÿìè. Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîòó ýòî óäàëîñü ñäåëàòü â 1980 ãîäó, êîãäà îí îáíàðóæèë ìíîæåñòâî, íîñÿùåå òåïåðü åãî èìÿ. Ýòî íå ïðîñòî ïðè÷óäëèâàÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ êîìó-òî êàæåòñÿ ïðåêðàñíîé, à êîìó-òî áåçîáðàçíîé; ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà âîïëîùàåò â ñåáå áîëåå îáùèé, ÷åì óíèâåðñàëüíîñòü Ôåéãåíáàóìà, ïðèíöèï ïåðåõîäà îò ïîðÿäêà ê õàîñó. Çäåñü, êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò â ìàòåìàòèêå, îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçü ýñòåòè÷åñêîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè ñ ôóíäàìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì.
Èäåÿ, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàíäåëüáðîòîì, ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû âìåñòî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðåòü êîìïëåêñíûå è íàáëþäàòü ïðîöåññ
... íå íà ïðÿìîé, à â ïëîñêîñòè. Äàæå ÷åëîâåêó, íå çíàêîìîìó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, íå ñëîæíî ïîíÿòü ñóòü ýòîãî ïðîöåññà: äîñòàòî÷íî ëèøü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðàâèëî 
óêàçûâàåò, êóäà äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè, à íå íà ïðÿìîé. Êîíêðåòíûé âèä ïðàâèëà íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó, êàê ìû óâèäèì, ðàçëè÷íûå ïðàâèëà ìîãóò ïîðîæäàòü òî æå ñàìîå ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà. Áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðåõîä îò ïîðÿäêà ê õàîñó îïèñûâàåòñÿ ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.  öåíòðå âíèìàíèÿ îêàçàëàñü ïðèðîäà ãðàíèö ìåæäó ðàçëè÷íûìè îáëàñòÿìè. Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû - êîòîðûå âåäóò áîðüáó çà âëèÿíèå íà ïëîñêîñòè; ëþáàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà 
ëèáî â òå÷åíèå ïðîöåññà ïðèõîäèò ê òîìó èëè äðóãîìó öåíòðó, ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöå è íå ìîæåò ïðèíÿòü îïðåäåëåííîå ðåøåíèå. Ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà èçìåíÿþòñÿ è îáëàñòè, ïðèíàäëåæàùèå àòòðàêòîðàì, à âìåñòå ñ íèìè è ãðàíèöû. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ãðàíèöà ïðåâðàòèòñÿ â ïûëü, è òàêîé ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ñöåíàðèåâ.Ïðîöåññ Ìàíäåëüáðîòà ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðîöåññó Ôåðõþëüñòà. Ôîðìóëà òàêàÿ æå ïðîñòàÿ:
Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî
, âîçâåäåì åãî â êâàäðàò è ïðèáàâèì êîíñòàíòó ñ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü 
; çàòåì ïîâòîðèì âû÷èñëåíèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü 
è ò. ä. Ýòî ïîä ñèëó êàæäîìó. Íî íèêòî íå îæèäàë, ÷òî â òàêîì èòåðèðîâàíèè ìîæåò ñêðûâàòüñÿ ñòîëüêî çàãàäî÷íîé êðàñîòû.