Ответ на этот вопрос можно дать следующий. Если доказательство являет собой длинную цепь силлогизмов, заключение каждого из которых является посылкой следующего, то вряд ли хоть кто-то совершит ошибку или не поймет такое доказательство. Но настоящее математическое доказательство не есть прямая цепочка. Иногда некоторый вывод, полученный в заключении некоторого элементарного силлогизма, используется в качестве посылки спустя длительное время, при этом параллельно развертывается несколько логических цепей. Когда мы возвращаемся к нашему предложению, мы можем забыть или исказить его смысл. Кроме того, одно и то же рассуждение, применяемое несколько раз, кажется настолько очевидным, что через некоторое время можно начать применять его без достаточного обоснования, и при этом допустить ошибку. Таким образом получается, что способности к математике определяются хорошей памятью и аккуратностью. Но тогда все математики были бы людьми собранными, ни в коем случае не рассеянными, имеющими большие способности к вычислениям, например. Но это не так, и много есть примеров гениальных математиков, которые были страшно рассеянными или не могли без ошибок провести простейшие операции. Почему же плохая память не мешала им при проведении математических рассуждений?
На самом деле математическое доказательство не есть нагромождение неких
аксиом и силлогизмов, пусть даже и связанных друг с другом (кстати, те
люди, которые не понимают доказательств, отзываются о них как о куче
или нагромождении непонятных фактов). Все выводы в доказательстве
расположены в известном порядке, причем порядок здесь более важен, чем сами элементы. Именно об это и говорят те математики, которые сначала обозревают общий ход решения, не задерживаясь на деталях, затем формулируют теорему и строго ее доказывают, отдавая дань необходимости соблюдения всех логических законов. Если же человек обладает интуицией такого порядка расположения фактов и силлогизмов, то, по всей видимости, это и называется математическим дарованием. Память здесь играет не такую важную роль, так как в случае интуиции такого рода все силлогизмы без больших усилий занимают отведенные им места. И в силу этого отпадает необходимость зубрить доказательство, так как достаточно понять его один раз, и при желании или необходимости его можно воспроизводить самостоятельно. Понятно, что все люди не могут обладать одновременно и хорошей памятью, и математической интуицией, и достаточным вниманием для концентрирования именно на этой области. Таким образом, математическое дарование не может быть всеобщим.
Математическое творчество состоит не только в
конструировании некоторых объектов, оно состоит также в том, чтобы выбрать из множества возможных объектов и комбинаций полезные и плодотворные. Очевидно, что машину, генерирующие некоторые истины по строгим логическим законам, можно сравнить с той знаменитой обезьяной с пишущей машинкой, которая бьет по клавишам в случайном порядке. Конечно, она может случайно напечатать роман Толстого "Война и мир" или какое-то другое литературное произведение, но произойдет это с нулевой вероятностью. Чтобы появилось подобное литературное произведение, мало проверять все комбинации, как ученый из "Путешествия Гулливера", а необходим еще акт творчества. Именно так обстоит дело и с математическим творчеством.
Но творить, изобретать не значит уметь выбирать из большого множества вариантов. На самом деле практически все бесплодные варианты даже не представляются уму изобретателя, а перед ним возникают только полезные комбинации или комбинации, которые впоследствии будут отброшены с помощью логического анализа, но они не лишены черт полезных. Именно это и можно назвать математической интуицией.
Феномен интуиции чрезвычайно широк и не всегда то, что считают интуитивным, действительно заслуживает такого названия. Нередко можно встретить умозаключения, посылки которых не формулируются в явном виде, и результаты кажутся неожиданными, но они вовсе не интуитивны, как можно предположить. Для того, чтобы таких случаев было как можно меньше, в математике добиваются возможно большей, на современном этапе абсолютной строгости. При этом посылки силлогизмов должны быть выписаны явным образом. Слово интуиция применяется также к сенсорно-чувственной интуиции, но математическая интуиция по своей сути есть интуиция интеллектуальная.
И еще одна чрезвычайно важная черта свойственна интуиции --- ее непосредственность. Непосредственным знанием (в отличие от опосредованного) принято называть такое, которое не опирается на логическое доказательство. Интуиция является непосредственным знанием только в том отношении, что в момент выдвижения нового положения оно не следует с логической необходимостью из существующего чувственного опыта и теоретических построений. ootnote Копнин П.В. "Гносеологические и теоретические основы науки". С.190 Иначе говоря, интуиция --- это способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью доказательства. ootnote "Философский энциклопедический словарь", М.,1989. С.221 Приведем примеры. Свои ощущения и размышления излагает Анри Пуанкаре в книге "Наука и метод".
"В течении двух недель я старался доказать, что невозможна никакая
функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал
название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того,
что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол,
проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе; я не смог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня лишь несколько часов."
Далее он подробно описывает свои дальнейшие размышления над развитием теории фуксовых функций, и каждый новый шаг характеризуется тем толчком, или озарением, а затем кропотливой работой по записи и логическому оформлению результатов.
Бертран Рассел отмечал, что иногда его попытки протолкнуть силой воли ход творческой работы оказывались бесплодными, и он убеждался в необходимости терпеливо ожидать подсознательного вызревания идей, что было результатом напряженных размышлений. "Когда я работаю над книгой, --- писал он, --- я вижу ее во сне почти каждую ночь. Не знаю, возникают ли при этом новые идеи или оживляются старые, зачастую я вижу целые страницы и могу во сне прочесть их." ootnote Цит. по "Интуиция и научное творчество". Аналитический сборник ИНИОН. М.,1981. С.17 Примеров тому можно привести много, и, конечно же, не только из области математики. Здесь вспоминается и Эйнштейн, и химик Кекуле, которому приснилась формула бензола, и Менделеев, которому приснилась его таблица.
Но все изложенное выше демонстрирует по крайней мере еще две черты, свойственные интуиции: внезапность и неосознанность. Решение проблемы в этих примерах приходило всегда неожиданно, случайно, и казалось бы , в неподходящих для творчества условиях, так или иначе непохожих на условия целенаправленного научного поиска.
Интуитивное видение совершается не только случайно, но и без явной осознанности путей и средств, приводящих к данному результату. Причем иногда неосознанным остается и результат, а самой интуиции при таком исходе ее действия уготована лишь участь возможности, не становящейся действительностью. Человек может вообще не сохранить никаких воспоминаний о моменте озарения. Одно замечательное наблюдение было сделано американским математиком Леонардом Юджином Диксоном. Его мать и ее сестра, которые в школе были соперницами по геометрии, провели долгий и бесплодный вечер над решением какой-то задачи. Ночью матери приснилась эта задача, и она стала решать ее вслух громким и ясным голосом. Ее сестра, услышав это, встала и записала. На следующее утро в ее руках было правильное решение, неизвестное матери Диксона ootnote Налчаджян А.А. "Некоторые психологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества)".
М.,1972.. Аналогичный пример, правда, не принадлежащий области математики, можно привести и с Владимиром Маяковским. По его словам, у него никак не складывались нужные строчки, отражающие его чувства и обстановку в Петрограде времен гражданской войны. Он промучился весь вечер и лег спать. Во сне ему приснились наконец нужные строчки, он вскочил и записал их на спичечном коробке, валявшемся на столе. С утра он очень долго не мог вспомнить, откуда они взялись.
Таким образом, интуитивной способности человека свойственны следующие особенности:
1) неожиданность решения задачи;
2) неосознанность путей и средств ее решения;
3) непосредственность постижения истины на сущностном уровне объекта.
С чем же связана такая быстрота и эффективность интуиции? Рассмотрим вопрос с психофизиологической точки зрения. Опыты показали, что три компонента речи --- понятийный, вербализационный и моторный ---
локализуются относительно самостоятельно. Оценивая эти данные в плане интуиции, А.А.Налчаджян пишет:" Если принять эту схему, то можно заключить, что вполне возможно мышление бессловесное, с отсутствием или слабым моторным сопровождением. А это не что иное, как подсознательное или же осознанное, но образное мышление. Отсюда можно также заключить, что творческое мышление, процесс подсознательной инкубации, по всей вероятности, связано с относительно самостоятельной активностью идеационной части локализованных следов памяти. Каким образом конкретно осуществляется образование следов памяти и как достигается физиологически эта относительная самостоятельность регистрации различных компонентов, имевших языковое выражение и воспринятых слухом содержаний, нам пока что неизвестно. Вполне возможно, что это осуществляется вовлечением одних и тех же нервных