В настоящее время формальное доказательство широко применяется в различных разделах современной логики и математики. Они являются необходимым методом анализа в тех случаях, когда требуется выявить структуру умозаключений там, где были использованы неформальные доказательства.
2. Логическая структура доказательства
В структуре формального и неформального доказательства выделяют следующие элементы: тезис, аргументы и форму (демонстрацию).
Тезисом доказательства называют то утверждение, которое подлежит доказательству. В формальных доказательствах, а также в некоторых науках, использующих дедуктивные процедуры, доказываемое утверждение именуют теоремой. Тезис является логически центральным элементом в доказательстве. Аргументы – это положения, которые используются для доказательства данного тезиса. Поскольку аргументы суть не истинные утверждения, которые определяют истинность тезиса, их называют иногда основаниями доказательства. В формальных доказательствах они именуются посылками.
В качестве аргументов могут быть: утверждения, истинность которых доказана ранее, - таковыми являются теоремы, законы и другие научные положения; аксиомы; определения и утверждения, содержащие высказывания о фактах. При доказательстве данного тезиса может быть использовано произвольное, но конечное число аргументов. Они могут принадлежать к утверждениям любого типа. Так, например, доказательства в геометрии основываются на аксиомах, определениях и вспомогательных утверждениях, доказанных ранее.
Аргументы доказательства всегда находятся в определенной связи между собой, а также с тезисом. Способ этой связи называется формой доказательства или демонстрацией. Аргументы соединяются в умозаключения различного вида, последние соединяются в цепочку таким образом, что ее конечным звеном является тезис данного доказательства. Следовательно, форма доказательства показывает логическую последовательность перехода от основания к тезису.
Рассмотрим пример доказательства тезиса: «Полученный в лаборатории металл не является натрием». Для этого доказательства мы располагаем рядом аргументов: (1) «Все щелочные металлы разлагают воду при комнатной температуре», (2) «Натрий – щелочной металл», (3) «Полученный в лаборатории металл не разлагает воду при комнатной температуре». Все эти утверждения (здесь они выступают в качестве аргументов) являются истинными, при чем способ установления истинности для каждого из аргументов различный. Аргумент (3) истинен на основе непосредственного доказательства путем наблюдения; аргумент (1) может являться итогом индуктивного обобщения результатов некоторого опыта, и только аргумент (2) может быть результатом некоторого силлогистического умозаключения. Процедура доказательства будет состоять в построении двух силлогистических умозаключений; одно из них даст следствие, которое будет использовано как посылка (то есть явится аргументом доказательства) во втором силлогистическом умозаключении:
| 1) Все щелочные металлы разлагают воду при комнатной температуре. |
| 2) Натрий – щелочной металл. |
| 4) Следовательно, натрий разлагает воду при комнатной температуре. |
| 4) Натрий разлагает воду при комнатной температуре. |
| 3) Полученный в лаборатории металл не разлагает воду при комнатной температуре. |
| Следовательно, полученный в лаборатории металл не является натрием. |
Из нашего примера видно, что тезис доказывается с помощью четырех аргументов. Они соединяются в два силлогизма таким образом, что следствие одного является посылкой другого. Тезис получается как следствие из этих силлогизмов по свойственным им правилам.
3. Виды доказательства. Опровержение
Доказательства различаются прежде всего по их цели, по отношению доказывающего к выдвинутому тезису. Можно подтвердить истинность тезиса и доказать его ложность. Подтверждение тезиса часто называют доказательством, а опровержение синонима не имеет. Следовательно, существуют два рода доказательства: подтверждение и опровержение тезиса.
Целенаправленность доказательства является исходным основанием деления всех доказательств. Оно предопределяет все построение и характер дальнейшего рассуждения. Цель его определяется не произвольно, а в зависимости от содержания обосновываемого положения. Не соответствующий действительности тезис невозможно подтвердить, как нельзя опровергнуть истинный тезис.
Выбор способа доказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однако связь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать различным способом в зависимости от характера оснований или соображений доходчивости, ясности и убедительности.
По способу аргументации все доказательства делятся на два вида – прямые и косвенные. Прямое доказательство заключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключения истинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезиса или, наоборот, его ложность.
Рассмотрим оба вида доказательства несколько подробнее.
В прямом доказательстве в цепочке умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано на последовательности таких рассуждений:
1) високосным годом называется год, числовое выражение которого делится на 4;
2) (2004/4=501), следовательно, 2004 год будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании определения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004 делится на
4), принятых в качестве основания нашего доказательства.
Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательством от противного» или «апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание – антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только на заключительной стадии.
Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. к ложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было целью доказательства.
Легко заметить, что переход от ложности следствия к ложности его основания был совершен в соответствии с отрицательным модусом условно – категорического силлогизма.
| Если А, то В |
| Не-В |
| Следовательно, не-А |
Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство – это такой вид рассуждений, при котором доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают об истинности тезиса.
В качестве примера косвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.
В данном примере следствия, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанному утверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенном доказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногда вообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредством приведения к абсурду (нелепости)» (reduction ad absurdum).