Третья революция в математике относится уже к XX веку, хотя ее начало и предпосылки возникновения связывают с прошлым веком. Начать с того, что именно тогда получили признание неевклидовы геометрии Лобачевского, Римана и Бойяи, в связи с чем широкое распространение получили новые взгляды на аксиомы геометрии и геометрическое пространство вообще. В то же время была создана теория множеств Кантора, ставшая фундаментом всей математики. Обнаружение парадоксов теории множеств и логики вылилось в кризис обоснований математики в начале XX века и возникновение новых теорий и концепций. Если раньше математику считали наукой о количественных соотношениях между величинами, то в нашем веке возник более широкий структурный взгляд (концепция абстрактных структур Н. Бурбаки), согласно которому математика рассматривается как наука, изучающая абстрактные свойства и отношения любого рода.
Следствием революции, происшедшей в XIX веке в геометрии (создание неевклидовых геометрий), было также новое понимание принципов построения математики на основе аксиоматического метода. Если до работ Лобачевского и др. только геометрия строилась аксиоматически, через постулаты, то после создания неевклидовых геометрий стало ясно, что подобным образом надо действовать во всех разделах математики.
По-видимому, революции в математике затрагивают в первую очередь сферу философии математики, связанную с ее концептуальной структурой и проблемами философского обоснования. А это уже ведет к решительным преобразованиям в самой математике. Для того, чтобы подвести итог нашим рассуждениям, охарактеризуем те качественные изменения, с которыми связаны революции в математике, следующими неотъемлемыми чертами:
| 1. | Образование новых понятий или изменение, углубление смысла (значения) старых понятий. |
| 2. | Возникновение новых теорий и методов математики, которые радикально изменяют прежние представления. |
| 3. | Концептуальное обобщение идей и теорий математики, расширение их применения как внутри самой математики, так и в ее приложениях. |
| 4. | Изменение оснований математики и ее философии, завершающее революцию, происшедшую в математике. |
Как говорил в свое время академик Л. Ландау, науки делятся на естественные (физика, химия), неестественные (гуманитарные) и сверхъестественные (математика). В этой шутке есть доля истины: математику нельзя отнести к естествознанию, но она не является и гуманитарной дисциплиной. Математика – это «сверхъестественная» наука, развивающаяся по своим особым законам, и поэтому для обсуждения особенностей научных революций в математике нам понадобился этот последний параграф.
Концепция научных революций Куна представляет собой достаточно спорный взгляд на развитие науки. На первый взгляд, Кун не открывает ничего нового, о наличии в развитии науки нормальных и революционных периодов говорили многие авторы. В чем же особенность философских взглядов Куна на развитие научного знания?
Во-первых, Кун представляет целостную концепцию развития науки, а не ограничивается описанием тех или иных событий из истории науки. Эта концепция решительно порывает с целым рядом старых традиций в философии науки.
Во-вторых, в своей концепции Кун решительно отвергает позитивизм – господствующее в с конца XIX века течение в философии науки. В противоположность позитивисткой позиции в центре внимания Куна не анализ готовых структур научного знания, а раскрытие механизма развития науки, т.е., по существу, исследование движения научного знания.
1. Т. Кун. Структура научных революций. М., Прогресс, 1975