Экзистенциальные суждения (стр. 2 из 2)
Э®(К, Л) – Эпименид – критянин и лжец;
К®
– Все критяне не лжецы.Одним из следствий наших исходных посылок оказалось суждение Э®
, т.е. коллизия парадокса. Из этого получается, что множество «Эпименид» является пустым множеством, т.е. Эпименид в данной системе посылок не может существовать. Посмотрим теперь, что получится, если мы в качестве антитезы ложному суждению Эпименида возьмем не общее, а частное суждение «Некоторые критяне не лжецы». Как мы уже знаем, это суждение является контрадикцией к суждению «Все критяне лжецы» и при совмещении с ним вызывает коллизию парадокса. Отсюда, если принять, что «Все критяне лжецы» – ложное суждение, то истинным суждением будет его антитеза: «Некоторые критяне не лжецы». Оказывается, что при подстановке именно этого суждения в структуру парадокса не возникает. Чтобы проверить это, построим для этой системы суждений соответствующую E‑структуру.Э®(К, Л) – Эпименид критянин и лжец;
W®(К,
) – Некоторые критяне не лжецы.Нетрудно убедиться, что коллизии парадокса не появилось. Критянин Эпименид лжец и он включен в состав тех, которые не являются «некоторыми» правдивыми критянами (следствие Э®
).Рассмотрим известный тип силлогизма (в Аристотелевской силлогистике – это модус EAO 4-й фигуры категорического силлогизма), в котором из двух общих суждений можно вывести только частное суждение.
1-я посылка: Ни одно млекопитающее не есть рыба.
2-я посылка: Все рыбы дышат жабрами.
Заключение: Некоторые из тех, кто дышит жабрами, не являются млекопитающими.
Из биологии нам известно, что все дышащие жабрами не относятся к классу млекопитающих. В заключении же говорится только о некоторых из них. Но в данном случае мы не имеем права говорить о всех дышащих жабрами, потому что при логическом выводе мы должны исходить не из наших знаний или заблуждений, а только из того, что нам дано в посылках. А из наших посылок по правилам Аристотелевской силлогистики можно вывести только частное суждение. Посмотрим, что получится, если воспользоваться E-структурами.
Обозначим М – млекопитающие, Р – рыбы, Ж – дышащие жабрами. Тогда посылки можно представить в виде таких формул:
М ®
; Р ® Ж.Здесь нужно сделать одно пояснение. Суждение типа «Ни одно A не есть B» в традиционной логике означает то же самое, что и суждение типа «Каждое A не есть B» и в алгебре множеств соответствует включению соответствующего множества A в дополнение множества B. Наличие двух отрицаний в одном суждении в данном случае обусловлено не двумя фактическими отрицаниями, а некоторыми нелогичными особенностями синтаксиса русского языка. Например, в английском языке суждение «Ни одно A не есть B» формулируется как «No A is B», т.е. в этом языке в отличие от русского используется только одно отрицание. На диаграммах Эйлера соотношения, выраженные этими суждениями, изображаются в виде пары непересекающихся множеств A и B, из чего следует справедливость включения AÍ
.Рассмотрим простой метод построения экзистенциальных суждений для произвольной E‑структуры. Здесь нужно учесть, что граф E-структуры – это граф частично упорядоченного множества, в котором определяющим отношением является отношение включения множеств. В каждой E-структуре можно выделить наибольший и наименьший элементы – это пустое множество (Æ) и универсум (U); на схемах мы их не показываем – они просто подразумеваются. Кроме подразумеваемых наибольшего и наименьшего элементов в E‑структурах имеются так же минимальные и максимальные элементы – на схемах их присутствие обязательно. Если руководствоваться схемным представлением, то их определение очень просто.
Минимальные элементы E-структуры – это элементы, в которые не входит ни одна дуга. На рисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 минимальных элемента (М, Р и
).Максимальные элементы E-структуры – это элементы, из которых не исходит ни одна дуга. На рисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 максимальных элемента (
, 
и Ж).Чтобы построить в E-структуре множество возможных экзистенциальных (частных) суждений, достаточно вычислить верхние конусы всех минимальных элементов.
Используя для этого граф на рисунке 31, получим
МD = {М,
}; РD = {Р, Ж, 
}; D = { , }.Тогда экзистенциальные суждения данной структуры формируются в следующей последовательности:
выбирается любой верхний конус (например, {Р, Ж,
});из выбранного на шаге 1 множества литералов формируется некоторое его подмножество (например, {Ж,
});формируется экзистенциальное суждение, в правой части которого содержится выбранное на предыдущем шаге подмножество литералов.
В нашем примере таким экзистенциальным суждением будет, в частности,
W®( Ж,
),которое при переводе на естественный язык ("Некоторые, дышащие жабрами, не являются млекопитающими") совпадает с заключением, полученным по правилам Аристотелевой силлогистики.
Верхние конусы минимальных элементов называются максимальными верхними конусами данной E-структуры. Максимальными они являются потому, что верхний конус любого элемента, не являющегося минимальным, обязательно является подмножеством какого-либо максимального верхнего конуса.
Рассмотренный метод построения экзистенциальных суждений с помощью максимальных верхних конусов, позволяет вывести все правильные силлогизмы, содержащие в качестве заключений частные суждения, а также построить такие частные заключения, которые не предусмотрены в силлогистике Аристотеля. Эти частные суждения обладают тем свойством, что они при добавлении в структуру не вызывают коллизий не только в исходной структуре, но и в структуре, которая получается из исходной за счет добавления в нее новых суждений или терминов. При этом, разумеется, должно выполняться условие: при расширении структура должна оставаться корректной. Поэтому частные суждения, полученные этим методом (с помощью максимальных верхних конусов), мы будем называть безусловными экзистенциальными суждениями (в прежних работах на эту тему такие суждения назывались Аристотелевыми частными суждениями).
Свойство безусловных экзистенциальных суждений сохранять свою корректность при любом корректном расширении структуры обусловлено следующей закономерностью: при любом корректном расширении исходной структуры верхние конусы всех элементов исходной структуры являются подмножествами верхних конусов тех же элементов в расширенной структуре.
Эта закономерность может быть строго доказана, но здесь мы это доказательство не будем рассматривать.
Но, оказывается, имеется другой метод построения корректных экзистенциальных суждений и соответственно другой класс экзистенциальных суждений. Предположим, что мы выбираем литералы для правой части экзистенциального суждения, но при этом потребуем выполнения только одного условия: это суждение в данной структуре должно быть корректным. Тогда появляется возможность построить такие корректные экзистенциальные суждения, у которых в правой части множество литералов не является подмножеством литералов какого-либо максимального верхнего конуса структуры. Чтобы такой выбор не производился вслепую, можно воспользоваться следующей теоремой. Предположим, что в структуре выбрано некоторое множество литералов M = {L1, L2, ... Lk}, при этом условие, что M включено в один из максимальных верхних конусов структуры, не обязательно. Тогда справедлива следующая теорема.
Список литературы
1. Кэрролл Л. История с узелками. - М.: Мир, 1973.
2. Кулик Б.А. Моделирование рассуждений на основе законов алгебры множеств // Труды V национальной конференции по искусственному интеллекту. Казань, 7-12 октября 2006 г. Т.1. С. 58-61.
3. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта, 2006, No 3, с. 7-92.