Контрольная работа
по логике
Сущность логической системы
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 Логическое осмысление континуума
2. Расширение классической логики как следствие ее ограничения (переводы и погружения)
3 Алгебраизация логики
4 В поисках логической системы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Два традиционных направления развития логики остаются пока непоколебимыми. Это, с одной стороны, синтаксическое направление, проявившееся в наибольшей степени в фундаментальной работе Д. Габбая и получившее название “labelled” дедуктивные системы, а также непрекращающиеся попытки максимально обобщить генценовские исчисления. И в первом и во втором случае ставится цель единообразного охвата наибольшего числа различных логических систем и даже различных направлений в логике. С другой стороны, остается неизменной тенденция в выработке единого семантического основания для возможно большего разнообразия логических систем. На IX Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки Г. фон Вригт констатировал: “С логикой случилось то, что она расплавилась в разнообразных исследованиях математики…”.
На самом деле это титанические усилия строгой науки представить в совершенно точных терминах понятие “логической системы” и удовлетворить требования компьютерных наук в вопросе о том, что такое дедуцирование? То, что с применением аппарата универсальной алгебры, с развитием теории категорий и с возрастающими потребностями в вычислениях и обработке информации представления о логических системах и о самой логике принимают всё более абстрактный характер, как раз говорит о непостижимой глубине данной науки, а может быть даже о некоторой тайне, скрываемой в недрах логического универсума.
Открытым остается главный вопрос: представляет ли собой логика как таковая некоторую единую конструкцию или это даже невозможно для систем искусственного интеллекта? Один из основных итогов современного развития логики как раз заключается в постановке этого вопроса.
1 Логическое осмысление континуума
Одновременно с оформлением классической логики, с построением на её основе грандиозного здания “Principia Mathematica” и с появлением первых метатеорем для двузначной пропозициональной логики (непротиворечивость, дедуктивная полнота, функциональная полнота), - наряду со всем этим проявляется тенденция к критике самих оснований классической логики. Это критика закона исключенного третьего Л. Брауэром и критика закона непротиворечия, начатая в 1910 г. Я. Лукасевичем и Н. А. Васильевым (см. [Васильев 1989]). В 1912 г. К. И. Льюис строит новую теорию логического следования взамен теории материальной (классической) импликации, изложенной в Principia Mathematica. Исходным мотивом Льюиса было избавиться от так называемых парадоксов материальной импликации. В результате вводится новая импликация, названная им “строгой”. Особо обратим внимание на серьезную критику Лукасевичем в начале 20-х годов принципа двузначности (бивалентности) в знаменитой статье “О детерминизме”. В итоге, соответственно, появляются интуиционистская логика Гейтинга, паранепротиворечивые логики, модальные логики Льюиса, трехзначная логика Лукасевича с её конечнозначные обобщения.
То, что эпоха бурного развития классической логики вплоть до великих ограничительных теорем К. Гёделя начала 30-х годов совпала с появлением и развитием различных неклассических направлений в логике, факт сам по себе примечательный. Но долгое время ему не придавали особого значения, поскольку классическая первопорядковая логика считалась и в основном считается и сейчас образцом математических рассуждений, а всё остальное от лукавого (и даже интуиционистская и конструктивная логики, представители которой бросили наиболее серьезный вызов классикам), пока У. Куайн не ввел термин “девиантная” логика, т.е. логика альтернативная к классической.
Применимость классической логики в строгих научных рассуждениях и особенно применимость ее в компьютерных науках оказались настолько плодотворными и впечатляющими, что ряд феноменов, проявившихся в логическом универсуме, вообще остался без внимания.
Во-первых, это множественностьлогик. Сначала появление различных классов конечнозначных логик и пяти льюисовских модальных систем S1 - S5 не навело на особые размышления. Но тогда же К.Гёдель заметил, что существует счётное число логик между интуиционистской логикой H и классической C2, которые впоследствии получили название суперинтуиционистских логик (si-логики). А это уже было событием в логическом мире. Исходя из этого факта Т. Умезава в 1955 г. начинает изучение целых классов логик. Параллельно С. Скрогс описывает нормальные расширения модальной логики Льюиса S5, а М. Дамметт и Е. Леммон рассмотрели логики между S4 и S5 и перевод si-логик в них.
Появляются всё новые логики, каждая из которых представляет особый интерес, например, цепная логика Дамметта LC или модальная логика Гжегорчика Grz. В середине 60-х годов в результате критики “парадоксов” строгой импликации Льюиса (т. е. истина следует из чего угодно и из лжи следует всё, что угодно) оформляется релевантное направление в логике во главе с системой R; добавление к R “безобидной” аксиомы приводит к логике RM с весьма необычными свойствами.
Анализируя объекты (логики) той же самой природы, например из класса si-логик, мы надеемся изучить и понять саму природу данного феномена и подняться на новый уровень знания. Поэтому открываются различные способы конструирования новых логик из данного класса с заданными свойствами. Так, Т.Хосои вводит понятие “слоя” для классификации si-логик. В течение долгого времени оставалась надежда найти полное описание решетки модальных и si-логик - тогда можно было бы “обозреть” любую логику и даже, может быть, представить их в виде исчисления.
В итоге, критика “основных” законов и принципов классической логики привела к феномену логической континуальности, выраженному как в континуальности самих классов логических систем, так и в наличии континуальности замкнутых классов логических функций. Отсюда возникает вопрос, является ли логическое мышление человека дискретным или континуальным? Ответ на этот вопрос такжезависит от того, что мы понимаем под логикой или логической системой. И в рамках одной ли логической системы мыслит человек?
2 Расширение классической логики как следствие ее ограничения (переводы и погружения)
Если изучение функциональных свойств (замкнутые классы, полнота, предполнота, базисы и т.д.) является прерогативой специалистов в области дискретной математики, инженеров, программистов, физиков, то изучение логики как объекта в виде исчисления относится к сфере “чистой” логики.
Указанная в предыдущем разделе критика законов и основ классической логики носила бескомпромиссный характер в своей тенденции ограничить сферу последней, но никто из перечисленных авторов не мог даже предположить, что на самом деле неявным образом происходит процесс расширения средств и аппарата классической логики C2. Из результата В. Гливенко о погружении C2 в H следует, что интуиционистская логика даже “богаче” C2. Более того, Гёдель показал, что классические законы, включающие только отрицание, конъюнкцию и квантор всеобщности, являются интуиционистскими законами. Поскольку импликация, дизъюнкция и квантор существования определяются через указанные “интуиционистские” логические связки, то можно строго утверждать, что классическая логика предикатов есть подсистема интуиционистской, а значит, вторая есть расширение первой. Гёделем был также предложен метод аксиоматизации льюисовских модальных систем как расширение C2. Оказалось, что n-значные логики (в том числе и предикатные) аксиоматизируются подобным образом. Одним из самых первых примеров в этой области является аксиоматизация в 1971 г. трехзначной логики бессмысленности Д. А. Бочвара B3, которая по своим функциональным свойствам слабее Ł3, в то время как Ł3 не является функционально полной. Уже в 1938 г. Д. А. Бочвар при построении B3 выделяет её трехзначный фрагмент, изоморфный C2, т. е. этот фрагмент верифицирует всю классическую пропозициональную логику. Уже отсюда следует, что B3 можно строить на основе C2. Отметим также, что и релевантная логика R может быть построена на основе C2 (отрицание де Моргана заменяется на булево отрицание).
Погружение или перевод одной логической системы в другую (первым примером которого является теорема Гливенко) к концу нашего века становится темой тщательного исследования. Самое общее понятие перевода состоит в следующем: cистема S переводима в S', если существует функция (возможно, но не необходимо отображение) между двумя универсумами рассуждений, которая сохраняет (по крайней мере, в одну сторону) отношение дедуцируемости.
Исследование переводов логических систем обеспечивает: новые семантики для неклассических логик, сводит метаматематические и металогические свойства одной системы к другой, чтобы получить нужные результаты, позволяет точно выявить смысл дуальности между логиками (в первую очередь это относится к интуиционистской логике), проясняет и выявляет взаимоотношения между совершенно различными логическими системами.
3 Алгебраизация логики
Одновременно с традицией развития логики как дедуктивной системы, идущей от Фреге, Уайтхеда и Рассела, развивался совершенно другой подход к логике, наиболее полно выраженный Э. Шрёдером в его трехтомных “Лекциях по алгебре логики” (1890-1905). В третьем томе развивается исчисление отношений и вводятся кванторы, но нигде нет понятия формального доказательства. Предшественники Шрёдера Дж. Буль, В. Джевонс и Ч.С. Пирс, впервые применили алгебраические методы к логике. Отсюда и сам термин “алгебра логики”.