Описание языка логики предикатов (стр. 2 из 2)
1) a, b, c, … - символы для единичных имен предметов; их называют предметными постоянными (константами);
2) x, y, z, ... - символы общих имен предметов; их называют предметными переменными;
3) P1 , Q1 , R1 , ...; P2 , Q2 , R2 , ...; Pn , Qn , Rn - символы для предикаторов, индексы которых выражают их местность: 1 - одноместный, 2 - двухместный, n - n-местный. Их называют предикатными переменными;
4) p , q , r - символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозиционными переменными (от лат. propositio – "высказывание");
5) V, Е - символы для кванторов, V - квантор общности, он символизирует выражения: все, каждый, всякий, всегда и т.п. Е - квантор существования, он символизирует выражения: некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т. п.;
6) логические связки:
^ - конъюнкция (соединительное "и");
v - дизъюнкция (разделительное "или");
→ - импликация ("если..., то...");
= - эквивалентность (если и только если..., то...");
¬- отрицание ("неверно, что...");
7) технические знаки: (;) - левая и правая скобки.
Других знаков, кроме перечисленных, алфавит языка логики предикатов не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:
1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r,... есть ППФ.
2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А1 (х), А2 (х, у), А3(х, у, г), А n (х,. у,..., п), где А1, А2, А3,..., А n — знаки метаязыка для предикаторов.
3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения V хА (х) и Е хА(х) также будут ППФ.
4. Если А и В — формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:
А ^ В, AvB, А → В, А = В, ¬ А, ¬ В также являются формулами.
5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1-4, не являются ППФ данного языка.
С помощью приведенного логического языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов.
Для буквенных обозначений видов суждений берутся гласные из латинских слов AffIrmo - 'утверждаю' и nEgO - 'отрицаю', сами суждения иногда записывают так: SaP, SiP, SeP, SoP.
С помощью приведенного искусственного языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов. Систематическое изложение логики предикатов дается в учебниках по символической логике. Элементы языка логики предикатов используются в изложении отдельных фрагментов естественного языка.
Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем ряд примеров таких записей.
1) Определение предела числовой последовательности.
Здесь использован трехместный предикат Q(e ,n,no):
2). Определение предела функции в точке.
Здесь использован трехместный предикат Р(e ,d ,х):
3). Определение непрерывности функции в точке.
Функция f(x), определенная на множестве Е, непрерывна в точке х0Î Е , если
Здесь также использован трехместный предикат Р(e ,d ,х).
4). Определение возрастающей функции.
Функция f(x), определенная на множестве Е, возрастает на этом множестве, если
Здесь использован двухместный предикат B(x1 , x2):
5). Определение ограниченной функции.
Функция f(х), определенная на множестве Е, ограничена на этом множестве, если
Здесь использован двухместный предикат L(x,M):(|f(x)|£M).
Как известно, многие теоремы математики допускают формулировку в виде условных предложений. Например, рассмотрим следующую теорему: "Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла". Условием этой теоремы является предложение "Точка лежит на биссектрисе угла", а заключением – предложение "Точка равноудалена от сторон угла". Видим, что и условие, и заключение теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве R2. Обозначая эти предикаты соответственно через Р(х) и Q(x), где х ÎR2, теорему можем записать в виде формулы:
В связи с этим, говоря о строении теоремы, можно выделить в ней три части: 1) условие теоремы: предикатР(х), заданный на множестве R2; 2) заключение теоремы: предикат Q(x), заданный на множестве R2; 3) разъяснительная часть: в ней описывается множество объектов, о которых идет речь в теореме.
Задания
1. Укажите, единичным или общим является понятие: Курская область
Понятие "Курская область" является единичным понятием, так как областей может быть много, а Курская область только одна, следовательно данное понятие не включает в себя другие более мелкие понятия.
2. Определите вид отношений между совместимыми понятиями и изобразите его с помощью кругов Эйлера: Юрист, депутат парламента
Некоторые юристы могут быть депутатами парламента, но не только депутатами парламента, а и милиционерами, судьями, адвокатами и т.д. Однако не все депутаты парламента могут быть юристами, они могут быть финансистами, экономистами и т.д. Следовательно, отношения между данными понятиями по объему характеризуется пересечением объемов.
Схема
3. Определите вид отношений между понятиями и укажите номер схемы соответствующей этому виду отношений (см. рис. ниже): Действие, бездействие
Отношения между данными понятиями по объему характеризуется как несовместимыми (или внеположными). Эти понятия содержат признаки, исключающие совпадение их объемов. Они находятся в отношении противоречия (контрадикторности), одно из которых содержит некоторые признаки – действие, а другое эти же признаки исключает – бездействие. Отношение между противоречащими понятиями изображено на схеме № 6. Ответ - схема №6.
4. В приведенных ниже атрибутивных суждениях найдите субъект, предикат, кванторное слово (если оно есть), дайте объединенную классификацию суждений
- Судьи несменяемы.
Субъектом данного суждения (S) является "Судьи", предикатом (P) – "несменяемы", кванторное слово отсутствует. Согласно объединенной классификации данное суждение является общеутвердительным простым суждением, так как любой судья – несменяем.
- Причинение вреда посягающему лицу в состоянии необходимой обороны не является преступлением.
Субъектом данного суждения (S) является "Причинение вреда посягающему лицу в состоянии необходимой обороны", предикатом (P) – "не является преступлением", кванторное слово отсутствует. Согласно объединенной классификации данное суждение является общеотрицательным сложным суждением.
- Некоторые выпускники Саратовского юридического института работают в адвокатуре.
Субъектом данного суждения (S) является "выпускники Саратовского ЮИ", предикатом (P) – "работают в адвокатуре", кванторное слово - "некоторые". Согласно объединенной классификации данное суждение является частноутвердительным простым суждением, так как не все выпускники Саратовского ЮИ работают в адвокатуре, а только их часть.
5. Проанализируйте сложные суждения, запишите их структуру с помощью языка логики высказываний
- Если он при пожаре выпрыгнет из окна, то рискует получить либо ожоги, либо травмы, либо и то и другое вместе
Данное высказывание является условным (импликативным) суждением, где антецедентом (p) является "он при пожаре выпрыгнет из окна", а консеквентом (q) – является разделительное (дизъюктивное) суждение характеризующееся противоречивым суждением (q и r) "рискует получить либо ожоги, либо травмы, либо и то и другое вместе". В предложении имеется логическая связка "если…, то …., либо … ".
С помощью языка логики высказываний данное предложение можно записать следующей схемой:
p → q v rv (q ^ r ).
- Он ощущал себя то счастливым, то несчастным.
Данное высказывание является разделительным (дизъюнктивным) суждением – строгая дизъюнкция, где антецедентом (p) является суждение "он ощущал себя", а консеквентом (q) – является разделительное (дизъюнктивное) суждение "то счастливым, то несчастным". В предложении имеется логическая связка "то …, то …".
С помощью языка логики высказываний данное предложение можно записать следующей схемой:
p (qr ).
6. Ниже приведены посылки категорического силлогизма. Сделайте из них вывод. Установите, следует ли вывод с необходимостью
А) Н.- осужденный, а осужденный имеет право просить о помиловании. Н.-осужденный.
Вывод: Н.- имеет право просить о помиловании. (Вывод следует с необходимостью).
Б) Алкоголь подтачивает силы человека. Федоров – человек.
Вывод: Алкоголь подтачивает силы Федорова. (Вывод не следует с необходимостью).
Список использованной литературы
1. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М.,1994.
2. Войшвило Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. М., 1994
3. Войшвило Е.К. Понятие как форма мышления // Вопросы философии. 1969. №8.
4. Горский Д.П. Определение. — М.,1985.
5. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. — М., 1991.
6. Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. — М., 1996.
7. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. М.:"Юрист". 2001
8. Свинцов В.И. Логика. М., 1987.