В историческом плане истоки аксиоматического метода восходят к философии великих греков античности. Труд Евклида "Начала", в котором сделана попытка аксиоматически изложить геометрию, относится к III в. до н.э. Но лишь "Основания геометрии" Гильберта (1899) явились первым геометрическим трудом, удовлетворяющим строгим требованиям, предъявляемым к аксиоматическим теориям. По сути, именно XX век стал веком триумфа аксиоматического метода.
Основное требование аксиоматического метода состоит в задании: 1) исследуемых объектов (например, высказываний для логики или чисел, функций, рядов для математики); 2) аксиом, исходных положений теории; 3) правил вывода (дедукции) из аксиом других положений теории. Обычно речь идет об аксиоматической системе. Чтобы ее задать, требуется некоторый язык. В этой связи широко используют символы (значки), а не громоздкие словесные выражения. Замена разговорного языка логическими и математическими символами называется формализацией. Если формализация имеет место, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода формулы называются теоремами, а используемые при этом аргументы – доказательствами теорем. Такова описанная нами вкратце и считающаяся чуть ли не общеизвестной структура аксиоматического метода.
Логика и математика в отличие от физики и биологии исследуют не реальные, а воображаемые объекты. В эмпирических науках научное мышление занято уяснением единства общего и единичного. Логике и математике нет необходимости следовать по аналогичному пути поиска соотношения общего и единичного. Так, геометру совсем необязательно воображать себе многообразие единичных треугольников и искать их общее. Он задает конструкт, или, что то же самое, математический объект – "треугольник", и характеризует его как можно более основательно и всесторонне в рамках определенной аксиоматической системы. Вся эта работа может быть проведена на языке символов письма, совсем не нужно чертить на бумаге или доске треугольники. Известно, однако, что изображение математических объектов в форме чертежей и схем иногда полезно, ибо дает воображению дополнительный материал для творчества.
Для понимания аксиоматического метода крайне важно различать, с одной стороны, интерпретацию логики и математики на данные эмпирических наук, а с другой – иллюстрацию самого логико-математического материала, придание ему наглядного выражения. В случае интерпретации логико-математические конструкции "тонут" в эмпирическом материале и больше не являются по своей природе логико-математическими (материальная точка – физическое понятие, а не математический объект).
При иллюстрации логические и математические конструкции сохраняют свою обособленность от эмпирии. Если геометр чертит треугольник на доске, то это графический образ математического объекта, фигурирующего под названием "треугольник". Начерченный треугольник отнюдь не представитель всех треугольников, как считал Кант [15, с. 423 - 425] и вслед за ним многие другие философы и геометры. Всякий начерченный треугольник может служить образом, картинкой математического объекта "треугольник". Математика интересует чертеж треугольника именно как образ его мысленных изобретений. Математик не изучает свойства каких-либо реальных треугольников, это дело естествоиспытателя, каковым математик, так же как и логик, не является по определению.
Смешение эмпирической интерпретации логико-математического материала и его иллюстрации на тех или иных реальных объектах совершенно недопустимо. Такое смешение снимает различие между эмпирическими и неэмпирическими науками, между гипотетико-дедуктивным и аксиоматическим методами. Между тем различие существует. Отождествление двух указанных методов приводит к желанию аксиоматизировать, например, физику. Физике можно пытаться придать наиболее строгий гипотетико-дедуктивный вид, но это не аксиоматизация. Аксиоматизация физики превратила бы ее в математику, в результате чего исчезла бы специфика физического знания.
М. Бунге справедливо отмечает, что в области физических теорий формальный аппарат математики и логики "ничего не говорит о физическом значении" [27,с.198]. Этот аппарат безмолвствует относительно физического значения в силу простого обстоятельства – его там нет. Вопреки расхожему мнению эмпирические науки говорят не на языке логики и математики, а на языке соответствующим образом интерпретированной логики и математики. Язык физики – это не что иное, как язык физики, язык социологии – это не что иное, как язык социологии. Русский язык – это русский язык (а не греческий или латинский, по отношению к которым он сохраняет известную историческую и фонетическую преемственность).
Интересно, что различие интерпретации и иллюстрации характерно не только для неэмпирических и эмпирических наук, но и для всех междисциплинарных связей, в том числе для соотношения логики и математики. Как логика, так и математика подчас конструируются аксиоматически – в этом они схожи. Но они отличаются своими объектами. Логика занимается высказываниями о предикатах (признаках), математика интересуется числами, рядами, кольцами и т.п. Математика сама задает свои объекты и их свойства. Этим не занимается логика. Именно по этой причине оказалась несостоятельной программа логицизма, выдвинутая Фреге и Расселом. Попытка свести математические объекты к логическим оказалась безнадежным мероприятием [28,с.76-80]. Интерпретация логики на математику перечеркивает логику как логику. Соответственно интерпретация математики на логику перечеркивает математику как математику. Фреге перенес из математики в логику понятие функции. Так в логике появились пропозициональные функции (предложения с переменными). Пропозициональная функция – это логический, а не математический объект. Математическая логика постоянно подпитывается токами знания от математики, но от этого она не становится математикой. Разумеется, логику можно иллюстрировать примерами из математики.
Обратимся теперь к характеристике аксиом и их соотношениям. Под аксиомой понимается отправной пункт всех возможных в данной неэмпирической системе выводов (доказательств). Аксиома – это не вечное, непреложное истинное положение, не нуждающееся в доказательстве в силу своей самоочевидности (такие положения просто-напросто не существуют), а составной элемент теории, который получает подтверждение вместе с нею [29, с.9-10]. Аксиома – это не раз и навсегда установленное положение. Дело в том, что в качестве аксиом могут быть избраны различные положения. Аксиомы соотносительны с теоремами. В евклидовой геометрии в качестве пятой аксиомы можно избрать как положение о том, что сумма углов в треугольнике равна 180° (а), так и утверждение, что через точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести лишь одну параллельную ей прямую (б). Если а избирается в качестве аксиомы, то б есть теорема; если б считается аксиомой, то а станет теоремой.
Число аксиом варьируется в широких границах; от двух-трех до нескольких десятков. К аксиомам и выводам из них предъявляются требования непротиворечивости, независимости и полноты [30,с.110].
Теория противоречива (а вместе с ней противоречивы и аксиомы), если в ее состав входит как высказывание А, так и его отрицание не-А. Если в теории появляются противоречия, то от них стремятся избавиться. В связи с этим избираются новые аксиомы.
Независимы, друг от друга те аксиомы, которые не выводимы в теории в качестве теорем. Независимость аксиомы указывает на ее необходимость для получения всей совокупности выводов данной теории.
Аксиоматическая система теории является полной, если все ее положения выводимы (сами аксиомы не нуждаются в выводе). Если же в составе теории обнаруживается невыводимое из ее аппарата положение, то необходимо определиться относительно него. Это положение либо является еще одной аксиомой, которая, будучи присоединенной к исходным, делает теорию более строгой, либо придание рассматриваемому положению статуса аксиомы приводит к противоречиям. Лишь второй случай указывает на неполноту системы аксиом. Последняя должна быть дополнена, чтобы анализируемое положение приобрело характер теоремы.
Интересно, что при современной трактовке содержания аксиоматического метода допускается известное ослабление каждого из трех указанных выше требований: независимости, полноты и непротиворечивости аксиом теории. Практика научных исследований показывает, что не следует торопиться с отправкой теорий в "отходы". Они сохраняют "трудоспособность" при частичной зависимости аксиом друг от друга, их известной неполноте и даже появлении противоречий, если они не разрушают теоретическую систему (речь идет о так называемых паранепротиворечивых логиках) [31]. Если теория не соответствует строгим требованиям аксиоматического метода, то приходится специально рассматривать вопрос о целесообразности ее дальнейшего использования.
Прояснению оснований аксиоматического метода в значительной степени способствовал немецкий математик Д. Гильберт, создатель программы формализма. Для этой программы характерны следующие моменты [28,с.88-92; 32,с.148-153]:
- Математическая аксиоматическая система должна быть представлена в качестве формальной системы.
- Непротиворечивость математической системы должна быть доказана ее собственными средствами.
- Если доказана непротиворечивость теории T1, то непротиворечивость теории Т2 определяется на основе метода моделей: при установлении соответствия между всеми аксиомами и теоремами двух теорий, из которых одна непротиворечива, непротиворечивой признается и другая. Вопрос о непротиворечивости одной теории сводится к непротиворечивости другой. Особое значение придается в этой связи формальной арифметике. Если бы удалось доказать непротиворечивость арифметики, то непротиворечивость других математических теорий можно было устанавливать, проецируя их (в указанном выше смысле соответствия) на арифметику. Особый интерес к арифметике как математической модели не случайный: арифметика представляется наиболее простой из класса действительно актуальных и богатых по своим возможностям математических теорий.