Основные философские направления и концепции науки. Итоги XX столетия, Канке В.А. (стр. 51 из 68)

- Целый ряд математических конструктов, наиболее спорных в силу их причастности к так называемым математическим парадоксам, переводится в разряд идеальных символов, функционирующих всего лишь согласно определенным непротиворечивым правилам. Таковой признавалась, например, актуальная бесконечность.

В конечном счете, как предполагалось, все спорные вопросы разрешались в силу их сведения к формулам, вывод которых должен был осуществляться за конечное число математических шагов (речь идет о финитных доказательствах). Итак, главное в формализме Гильберта – это формализация аксиоматической системы и доказательство ее непротиворечивости.

Для простых систем исчислений высказываний доказательство их непротиворечивости вполне возможно. Но в случае арифметики и теории множеств – двух образцовых математических теорий – ситуация оказывается довольно необычной и непредвидимой с позиций здравого смысла, не умудренного математическим опытом. Речь идет о двух знаменитых теоремах австрийца К. Гёделя. Согласно теореме о неполноте, в достаточно богатых формальных непротиворечивых системах, содержащих арифметику (или, например, теорию множеств), всегда находятся неразрешимые формулы, которые одновременно и недоказуемы, и неопровержимы. Согласно теореме о непротиворечивости, если формализованная арифметика действительно непротиворечива, то это недоказуемо ее средствами. Итак, формальная аксиоматическая, достаточно богатая содержанием непротиворечивая система неполна, а ее непротиворечивость недоказуема.

Теоремы Гёделя выявили необоснованность ряда притязаний, содержащихся в формализме Гильберта (так, видимо, невозможно доказать непротиворечивость достаточно богатых формальных аксиоматических систем). Аксиоматический метод надо брать (и любить) таким, каковым он является. Ему нет замены. Формализм как абсолютный метод обоснования математики оказался столь же несостоятельным, как и логицизм. Что касается самого метода формализации, то его достоинства в теоремах Гёделя не обсуждаются. Этот метод широко и с успехом используется и в логике, и в математике.

Под натиском парадоксов теории множеств и желания их преодолеть окрепло еще одно направление оснований математики – интуиционизм, или конструктивизм. Родоначальником интуиционизма является голландский математик Л. Брауэр [33].

Интуиционисты (Л. Брауэр, А. Гейтинг, Г. Вейль) предлагали обеспечить надежность математике следующим образом:

- начало математических операций связывать не с символами, как у формалистов, а с наглядно-очевидными математическими интуициями интеллекта;

- не выводить формулы, а строить, конструировать математические объекты (более сложные, чем исходные интуиции);

- отказаться от понятия актуальной бесконечности, ибо бесконечность не может быть построена;

- в процессе построения использовать интуитивно оправданную, свободно становящуюся последовательность шагов [34,с.61-64,87].

Язык, в том числе язык символов, играет у интуиционистов подсобную роль, он нужен для сообщения результатов математически-мыслительной деятельности и представления в наглядной форме процесса конструирования математических объектов. От закона исключенного третьего – истинно А либо не-А – интуиционисты отказываются: нельзя с уверенностью судить о не-А, если оно нереализовано. Недопустимо считать актуальную бесконечность реальной в той же степени, что и конечные множества. Именно в результате такой подмены возникают антиномии. «Брауэр, – считал Вейль, – открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в "абсолютное", превосходящее все возможности человеческого понимания, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на опыте». Тем не менее Вейль подчеркивает, что математика Брауэра уступает обычной математике в простоте и силе [34,с.87]. Надо полагать, по этой причине сам Вейль стремился сочетать возможности интуиционистской и формальной математики и логики.

В программе интуиционистов два решающих момента – выбор в качестве исходных некоторых математических объектов и последующее конструирование сложных объектов. Кстати, по второму признаку интуиционистов вполне оправданно называют также конструктивистами. В отечественной литературе принято отличать интуиционизм от конструктивизма, под которым понимается конструктивное направление в математике и логике, развитое в трудах А.А. Маркова, Н.А. Шанина и их последователей. Отмечая точки соприкосновения интуиционизма и конструктивистского направления, А.А. Марков критиковал интуиционистов за то, что они не считают человеческую практику источником математических понятий и построений и следуют идее свободно становящейся последовательности, а не алгоритма [35.С.51].

Различия, существующие между интуиционизмом Брауэра и конструктивизмом Маркова, относятся в основном к философскому плану. Они, на наш взгляд, не позволяют выводить интуиционистов за пределы конструктивизма как основополагающего логико-математического направления. Что касается идеи свободно становящейся последовательности построения логических и математических объектов, то она, как выявилось особенно в последние 20-30 лет, является далеко не бесплодной. Было разработано столь большое число способов построения математических и логических объектов, что характеристика последовательности построения в качестве свободно становящейся представляется все более уместной.

В историческом плане конструктивистское направление в математике возникло в форме интуиционизма, затем оно многократно модифицировалось. Незыблемой оставалась главная идея – идея построения логических и математических объектов. С этой точки зрения термин "конструктивизм" имеет преимущество перед термином "интуиционизм". Интуиционизм Брауэра и конструктивистское направление Маркова – это разновидности логико-математического конструктивизма.

В борьбе с логико-математическими противоречиями конструктивистский метод оказался довольно сильнодействующим средством. В частности, не одним, а несколькими способами удалось доказать непротиворечивость формальной арифметики [36]. Эти доказательства существенно ослабляют значимость теорем Гёделя. Согласно его второй теореме, непротиворечивость арифметики недоказуема. Она действительно недоказуема при тех методах, которые использовал Гёдель. Но она доказуема при других методах, в частности в рамках конструктивизма. Пикантность ситуации состоит в том, что как те, так и другие методы не без успеха используются в математике и логике. Требования, которые предъявляются, допустим, к математике одним из ее направлений – логицизмом, формализмом, конструктивизмом, неправомерно возводить в ранг абсолюта.

Специфика логического и математического мышления определяется сочетанием, иногда причудливым, достоинств и недостатков далеко не во всем совпадающих логико-математических направлений, главными из которых являются логицизм, формализм и конструктивизм.

Прагматический метод в технических и гуманитарных науках

Каждый из рассмотренных выше фундаментальных методов науки – индуктивный, гипотетико-дедуктивный, аксиоматический и конструктивистский – имеет свои особенности.

Индуктивный метод регламентирует перенос знаний с известных объектов на неизвестные. Гипотетико-дедуктивный метод определяет правила научного объяснения в естествознании. Аксиоматический и конструктивистский методы определяют правила логических и математических рассуждений. Индуктивный метод тесно сопряжен с проблематикой научных открытий. Гипотетико-дедуктивный метод имеет ярко выраженный семантический характер, речь идет о соответствии научных понятий реальному положению дел. Аксиоматический и конструктивистский методы относятся в первую очередь к синтактике, к взаимосвязи логических и математических конструктов. Если последние интерпретируются на какую-либо природную предметную область, то запускается механизм семантических соотношений, которые должны соответствовать специфике этой предметной области, в частности физической, биологической, геологической. В таком случае, например, аксиоматический метод переводится в гипотетико-дедуктивный.

Аксиоматический метод имеет дело с понятиями как таковыми, их соотношениями, но не с их отношением к предметным областям. При гипотетико-дедуктивном методе интерес исследователей сосредоточен на соответствии понятий миру вещей и предметов. Резонно поставить еще один вопрос: о соответствии мира вещей понятиям и ценностям. Речь идет о методе, который мы называем, в рабочем порядке, прагматическим. Приведенная ниже схема поясняет обсуждаемую ситуацию (мир понятий и ценностей обозначен строчными, а предметы – прописными буквами).

При гипотетико-дедуктивном методе решающее значение имеет мир вещей (поэтому стрелка на схеме направлена от вещей к понятиям); понятия, не соответствующие их природе, признаются ненаучными, следовательно, они и понятиями-то не являются. Здесь главным будет вопрос о подтверждении теории фактами.