Гидравлика 2 (стр. 3 из 21)
При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывал процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.
Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.
При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая посредством
энтропию, отнесенную к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением 
, (21)где полная производная по времени означает, как и в (14), изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде
. (22)Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движенияидеальной жидкости. С помощью
его можно написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии 
. (23)Произведение psv представляет собой «плотность потока энтропии».
Надо иметь в виду, что обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатичности просто в виде
s= const. (24)
что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим.
Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для того, чтобы представить уравнение движения (19) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением
, (25)где w – тепловая функция единицы массы жидкости,
– удельный объем, а Т – температура. Поскольку s = const, мы имеем просто 
, (26)и поэтому
. Уравнение (19) можно, следовательно, написать в виде 
. (27)Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа
, (28)можно написать (29) в виде
. (29)Если применить к обеим строкам этого уравнения операцию rot, то мы получим уравнение
, (30)содержащее только скорость.
К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости:
(31)(в общем же случае движущейся поверхности
должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности).На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения самой поверхности раздела).
Как уже было указано, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: тремя компонентами скорости
и, например, давлением р и плотностью 
. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения.1.Основная формула гидростатики.
Закон Паскаля. Понятие о напоре
Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
Уравнение Эйлера (20) принимает вид
. (32)Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости. Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто
, т.е. р =const – давление одинаково во всех точках жидкости.Уравнение (32) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать постоянной вдоль всего объекта, т.е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действием внешнего поля. Выберем оси координат, как показано на рис. 2. Поскольку из массовых сил действует только сила тяжести, то
; 
. (33) 
Таким образом, искомая функция р зависит только от одной переменной z; интегрирование последнего равенства дает 
, (34)где С – произвольная постоянная.
Эта формула выражает гидростатический закон распределения давления, состоящий в том, что в тяжелой (подверженной действию силы тяжести) несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертикальной координаты.
Чтобы найти постоянную в уравнении (34), надо использовать какое-нибудь граничное условие. Пусть, например, жидкость покоится в резервуаре (см. рис.2) причем на ее свободной поверхности давление равно р0. Будем это давление называть внешним.
Для точек свободной поверхности можем записать
. (35)Вычитая это отношение из уравнения (34), находим
(36)или, обозначив через
заглубление точки М под свободную поверхность, получим основную формулу гидростатики 
, (37)где величина 
называется весовым давлением.
Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего давления
вызывает изменение давления во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как закон Паскаля.Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т.е. в ней отсутствуют напряжения сжатия, то
. Значения 
, отсчитанные от нуля, называют иногда абсолютным давлением.В технике весьма часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным
, который называется избыточным или манометрическим давлением. По определению 
. (38)Для произвольной точки М, заглубленной на высоту h под свободную поверхность, избыточное давление равно
; (39)отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной поверхности равно атмосферному (
).Если все члены формулы (37) разделить на величину
, то они приобретут линейную размерность: 
. (40)Отсюда следует, что каждому давлению р можно поставить в соответствие линейную величину 
, которая представляет собой величину столба жидкости, создающего в своем основании данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис.3. Если на свободной поверхности в резервуаре давление
, а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то под действием давления 
жидкость в трубке поднимется над точкой М на некоторую высоту 
, называемую приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свободной поверхности в трубке давление равно нулю, согласно (37) можно записать 
. Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности которого давление равно нулю, а в основании – данному давлению жидкости.