Финансовая математика (стр. 1 из 2)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Кафедра «Финансы и кредит»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Финансовая математика»
Севастополь
2007
Цель контрольной работы:
- изучить основные методы проведения финансовых расчетов на уровне предприятий, банковских учреждений, страховых организаций;
- научиться рассчитывать параметры финансовых операций;
- научиться проводить сравнительный анализ вариантов осуществления финансовых сделок.
Вариант №5
Задача 1
Вывести формулу для определения современной ценности р-срочной финансовой ренты с начислением процентов m раз в год.
Сумма членов геометрической прогрессии (P) определяется по формуле
,где b1 - первый член геометрической прогрессии;
q - знаменатель прогрессии;
n - число членов прогрессии.
Если платежи производятся не один, а m раз в году, то размер платежа равен R/p. Члены ренты образуют ряд
.Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+j/m)-m/p, первым членом прогрессии
и числом членов прогрессии nmp. Подставив данные в вышеуказанную формулу получаем сумму дисконтированных платежей или современную стоимость (Р) p-срочной ренты: 
Приведя последнее выражение к общему знаменателю, и упростив его, получим формулу для расчета современной ценности р-срочной финансовой ренты с начислением процентов m раз в год:
 |
Задача 2
Клиент внес в банк 14 000 д.ед. на срок с 14 февраля по 23 июля. На вклады «до востребования» сроком больше месяца банк начисляет 24 % простых годовых. Определите наращенную сумму при расчете по: а) точным процентам с точным числом дней; б) банковскому методу; в) обыкновенным процентам с приближенным числом дней. Год не високосный.
Решение:
Дано: Р = 14 000
срок c 14.02 по 23.07
i = 24 % (0,24)
Найти:S -?
Наращенная сумма вычисляется по формуле (декурсивный метод начисления простых процентов):
S = P + I,
где S – наращенная сумма или сумма задолженности, подлежащая погашению по окончании кредитного/депозитного договора, д.ед.;
Р – первоначальная сумма капитала или размер предоставленного кредита/депозита, д.ед.;
I –сумма процентов, начисленных за весь срок операции, д.ед.
Сумма начисленных процентов вычисляется по формуле
I = P * i * n,
где n - срок операции или период действия кредитного договора в годах;
i – простая процентная ставка для конверсионного периода, равного одному году, %.
Формула наращения по простым процентам
S = P + P*i*n = P*(1+i*n).
В случае, если n не равно целому количеству лет применяют формулу
S = P*(1+i*t/k),
где t – срок финансовой операции;
k – временная база (12 мес., 4 квартала, 360 /365 дней).
а) Определим наращенную сумму при расчете по точным процентам с точным числом дней в течение финансовой операции. Это Английская практика расчетов. В нашей задаче временная база k = 365 (год не високосный).
Посчитаем точное число дней в сроке с 14.02 (включая) по 23.07 (не включая).
t = 15 + 31 + 30 + 31 + 30 + 22 = 159 (дней)
Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 365) = 15 463,67 (д.ед.)
б) Определим наращенную сумму при расчете по банковскому методу, или обыкновенные % с точным числом дней в течение финансовой операции. Это Французская практика расчетов. Временная база k = 360 дней. Точное число дней рассчитывается аналогично первому варианту и равно t = 159 (дн.)
Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 360) = 15 483,99 (д.ед.)
в) Определим наращенную сумму при расчете по обыкновенным процентам с приближенным числом дней в течение финансовой операции.
Временная база k = 360 дней. Расчет числа дней операции производится исходя из предположения, что в каждом месяце 30 дней.
t = (14,15,16,…30) + 30 +30 + 30 + 30 + 22 = 159 (дней)
Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 360) = 15 483,99 (д.ед.)
Ответ: а) 15 463,67 д.ед.; б) 15 483,99 д.ед.; в) 15 483,99 д. ед.
Задача 3
Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно.
Решение:
Дано: Р
S = 2 P
m = 4, 12
Найти:j - ?
Наращение по сложным процентам вычисляется по формуле (декурсивный метод начисления по сложным процентам):
Sn = P* (1+ i)n ,
где Sn – наращенная сумма на конец n - го года, д.ед.;
P – первоначальная сумма денежных средств, д.ед.;
i - ставка сложных процентов, %;
n – срок операции наращения в годах;
(1+i)n - множитель наращения сложных процентов.
В случае если проценты начисляются чаще одного раза в год, то применяют формулу
S = P * ( 1 + j / m )mn
где j – годовая процентная ставка (номинальная), %;
m - число периодов капитализации процентов в течение года.
По условию задачи должно произойти удвоение вклада, т.е. S = 2 P,
тогда формула начисления процентов имеет вид:
2 P = P * ( 1 + j / m )mn, отсюда
j = m * ( mn
2P/ P – 1)а) Проценты начисляются поквартально, т.е. m = 4, тогда
j = 4 * ( 4*1
2P/ P – 1) = 4 * ( 4 2 – 1) = 4 * (1,189 – 1) = 0,76 (%)б) Проценты начисляются ежемесячно, т.е. m = 12, тогда
j = 12 * ( 12*1
2P/ P – 1) = 12 * (12 2 – 1) = 12 * (1,06 – 1) = 0,72 (%)Ответ:j = 0,76%; 0,72 %
Задача 4
Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 3 500 000 д.ед. через 2 месяца после покупки, 3 000 000 - ещё через 2 месяца и 5 200 000 - ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платёж, если на деньги начисляется 8 % годовых?
Решение:
Дано:
3 500 тыс. 3 000 тыс. А0 -? 5 200 тыс.
* * * * *0 2 мес. 4 мес. 5 мес. 7 мес.
60 дн. 120 дн. 150 дн. 210 дн.
n0
i = 8% годовых
Найти: А0 - ?
Если в задаче не указано, то количество дней в году принимаем - 360 и количество дней в каждом месяце будет - 30. (Применим немецкую практику расчета).
Для решения данной задачи используется уравнение эквивалентности, в котором сумма платежей по первоначальным условиям приводится к выбранному моменту времени и приравнивается к сумме платежей по новым условиям по этому же моменту времени.
В нашем случае совокупность платежей заменяется одним новым платежом и если известен срок объединенного платежа, то нахождение суммы объединенного платежа при известном сроке и начислении простых процентов вычисляется по формуле:
 |
где Аj – суммы объединенных платежей, сроки выплат которых меньше нового срока, (nj < n0 ), д.ед.;
tj – разница между сроком выплаты объединенного платежа и сроком выплаты каждого объединенного платежа (tj =n0 - nj), дни;
Аk – суммы объединенных платежей со сроками, превышающими срок объединенного платежа (nk > n0), д.ед.;
tk – период времени между сроком погашения по первоначальным условиям контракта и сроком погашения по новым условиям контракта (tk = nk-n0), дни.
Тогда, подставив заданные значения получаем:
А0 = 3 500 000*(1+0,08*(150-60)/360) + 3 000 000*(1+0,08*(150-
120)/360) + 5 200 000*(1+0,08*(210-150)/360)-1 = 3 500 000*1,02 +
3 000 000*1,01 + 5 200 000*1,01-1 = 11 748 514,85
Ответ: Новый платеж через пять месяцев равен 11 748 514,85 д.ед.
Задача 5
Пенсионер вкладывает в начале каждого месяца в банк по 50 д.ед. под 60 % годовых. Определите, через какое время он накопит сумму, достаточную для покупки холодильника стоимостью 3000 д.ед. Проценты начисляются ежемесячно.
Решение:
Дано:R/р = 50 д.ед.
i = 0,6 %
S = 3 000 д.ед.
р= m = 12
Найти: n - ?
Пусть рента выплачивается p = m = 12 раз в году равными суммами, процент начисляется ежемесячно по условию задачи. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Члены ренты образуют ряд
Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)m/p, первым членом прогрессии R/pи числом членов прогрессии nmp.
Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты производится по формуле:
 |
где R/p - элемент (член) p-срочной ренты, д.ед.;
p - количество платежей за год;
Из этой формулы находим n и подставим наши данные:
Ответ:n = 2,3 года, или необходимую сумму в 3 000 д.ед. можно накопить в течение 2 лет 3 месяцев, если ежемесячно вносить в банк 50 д.ед. под 60 % годовых.
Задача 6
Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет иметь возможность снимать со счёта каждые два года по 1000 д.ед., исчерпав весь счёт к концу этого срока, если банк начисляет на деньги, находящиеся на счёте, 10 % годовых?