Основы финансовых вычислений (стр. 2 из 15)
Решение
1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
156=21+28+31+30+31+15;
S= 20 000 (1+0,14 ·
) =21 213,3, руб.2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
155= (30·5)+5
S= 20 000 (1+0,14 ·
) =21 205,6, руб.3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S= 20 000 (1+0,14 ·
) =21 189,0, руб.4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:
S= 20 000 (1+0,14 ·
) =21 516,7, руб.Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.
Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.
После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где iбудет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S2 составит:
S2 = S1(1 + it) = P(1 + it) · (1 + it) = P(1 + it)2.
Таким образом, при начислении сложных процентов (после nлет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле
S= P(1 + it)n, (3)
где i– ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n– число начислений сложных процентов за весь период.
Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле
Кн = (1 + it)n, (4)
где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.
Пример 5
Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.
Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.
Решение
S= 75 000 (1+ 0,1 · 1)3 = 99 825, руб.
ΔР = 24 825, руб.
Таким образом, коэффициент наращения составит:
Кн = (1+ 0,1 · 1)3 = 1,331
Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.
Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.
Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов
Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.
В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (mраз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (
). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (( )mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле
S= P(1+
)mn, (5)где i– годовая номинальная ставка, %; (1+
)mn– коэффициент наращения эффективной ставки; m– число случаев начисления процентов за год; mn– число случаев начисления процентов за период.Пример 6
Рассчитать сумму выплаты по депозиту в размере 20 000 руб., помещенному на 1 год под 14 % годовых с ежеквартальным начислением процентов.
Решение
S= 20 000 (1+
)4·1 = 22 950, руб.Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n(см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.
Пример 7
Рассчитать сумму погасительного платежа, если выдан кредит в размере 20 000 руб. на 3 года под 14 % годовых с ежеквартальным начислением процентов.
Решение
S= 20 000 (1+
)4·3 = 31 279, 1 , руб.Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.
Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.
Эффективную процентную ставку можно рассчитать по формуле
Iэф = (1+
)mn– 1 . (6)Пример 8
Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.
Решение
i= (1+
)365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.Реальный доход вкладчикана1руб. вложенных средствсоставитне10коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.
Пример 9
Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.
Решение
а) i= (1+
)4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;б) i= (1+
)2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.
Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.
В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, атакжеизменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.
Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.
Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n1 лет она будет равна i1, n2 – i2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i1, i2, in, а при сложных – найти их произведение.
При начислении простых процентов применяется формула
S = P (1+i1 t1 + i2 t2 + i3 t3 + in tn) , (7)
где in– ставка простых процентов; tn– продолжительность периода начисления.
Пример 10
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.
Решение
S= 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;
ΔР = 3 150, руб.
При начислении сложных процентов применяется формула
S = P(1+i1 t1)·(1+ i2 t2)·(1+ i3 t3)·(1+ in tn) (8)
где in– ставка сложных процентов; tn– продолжительность периода ее начисления.
Пример 11
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.
Решение
S= 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.
Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:
– за первый год: S1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
ΔР1 = 1 000, руб.;
– за второй год: S2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;
ΔР 2 = 1 050, руб.;
– за третий год: S3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;
ΔР 3 = 1 100, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:
ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).
В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11: