Портфельная теория Марковица (стр. 3 из 7)

(4)

где rp - ожидаемая доходность портфеля; Хi - доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в ценную бумагу; ri - ожидаемая доходность ценной бумаги I; N - количество ценных бумаг в портфеле.

Таким образом, вектор ожидаемой доходности может быть использован для вычисления ожидаемой доходности любого портфеля, состоящего из N ценных бумаг. Вектор состоит из одной колонки цифр, где в i-ой строке находится ожидаемая доходность i-ой ценной бумаги.

Так как ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности ценных бумаг, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а также от доли начальной рыночной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу. Никакие другие факторы не имеют значения. Из уравнения (4) следует, что инвестор, который просто желает получить наибольшую возможную ожидаемую доходность, должен иметь портфель, состоящий из одной ценной бумаги, той самой, у которой ожидаемая доходность наибольшая. Очень небольшое число инвесторов поступает таким образом, и очень небольшое число консультантов по инвестициям посоветует проводить такую экстремальную политику. Вместо этого инвесторы должны диверсифицировать портфель, т.е. их портфель должен содержать более одной ценной бумаги.

Это имеет смысл, так как диверсификация может снизить риск, измеряемый стандартным отклонением. Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных "плохих" результатов и их величину. Вместо того чтобы измерять вероятности различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Стандартное отклонение - мера, позволяющая это сделать, так как она является оценкой вероятного отклонения фактической доходности от ожидаемой. Может показаться, что простая мера риска в лучшем случае является очень грубой суммой "плохих" возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой степени неопределенности оценки перспектив портфеля. Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей доходности портфеля может быть аппроксимировано известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения. Это часто рассматривается как правдоподобное предположение при анализе доходности диверсифицированных портфелей, когда изучаемый период владения относительно короток (до квартала).

В результате возникает вопрос о стандартном отклонении, как о мере риска; зачем вообще учитывать "счастливые неожиданности" (т.е. случаи, когда доходность превышает ожидаемую) при измерении риска? Почему бы просто не рассмотреть отклонения ниже ожидаемой доходности? Меры риска, при которых поступают таким образом, имеют достоинства. Однако результат будет тем же самым, если вероятностное распределение симметрично как при нормальном распределении. Почему? Потому что левая часть симметричного распределения является зеркальным отображением правой части. Таким образом, перечень портфелей, упорядоченный на основе "риска снижения курса", не будет отличаться от перечня, упорядоченного на основе стандартного отклонения, если доходность нормально распределена.

Например, Гарри Марковиц изначально (в первой своей работе по эффективным наборам) предполагал, что мера риска включает в себя только негативные результаты. В дальнейшем он отказался от этого подхода в пользу стандартного отклонения, для того чтобы упростить вычисления. Тот факт, что результаты, превышающие ожидаемую стоимость, включаются в расчеты вместе с результатами, не достигающими ожидаемой стоимости, не имеет значения. Стандартное отклонение суммирует "плохую" часть распределения доходности инвестиций. Однако что будет, если доходность инвестиций не является нормально распределенной? Можно рассмотреть ситуацию, где доходность обыкновенных акций не удовлетворяет данному предположению. Допустим, что инвестор на рынке обыкновенных акций столкнулся с ограниченной ответственностью. Самое большое, что он может потерять в данном случае, это первоначальные инвестиции. При этом потенциальный выигрыш от повышения не ограничен. Наконец, ожидается падение большинства доходностей по обыкновенным акциям до среднего рыночного значения. То, что мы только что описали, носит название распределения, смешенного вправо по отношению к нормальному.

Стандартное отклонение недостаточно характеризует риск "смещенной вправо" ценной бумаги, т.к. при этом игнорируется факт, что большая часть изменчивости ценной бумаги приходится на "хорошую" сторону ожидаемой доходности ценной бумаги. Интересно, что простыми математическими действиями можно свести смешенное вправо распределение к нормальному. Если прибавить 1 к доходности ценной бумаги, а затем вычислить натуральный логарифм этого значения, тогда получившееся преобразованное распределение доходности может оказаться нормальным.

Поэтому исследователи часто интересуются тем, удовлетворяет ли доходность ценной бумаги "логнормальному" распределению более, чем нормальному распределению. Хотя эмпирическое доказательство может быть оспорено, большинство экспертов рассматривает "логнормальность" как адекватную характеристику доходности обыкновенных акций. Но доходность на некоторые виды ценных бумаг не является нормально или "логнормально" распределенной. Самым простым примером являются опционы. Например, опцион на покупку позволяет его владельцу получать прибыль в случае положительной доходности соответствующей акции, но в то же время избегать убытков в случае ее отрицательной доходности. По существу, опцион на покупку отсекает распределение доходности акций в той точке, где начинаются потери. Инвестору, таким образом, принадлежит только "хорошая", или правая, сторона в распределении доходности. Соответственно доходность опциона на покупку по определению не является нормально распределенной. Кроме того, некоторые ценные бумаги имеют включенные в них опционы. Например, отзывные облигации позволяют эмитентам осуществить их погашение по своему усмотрению. Они делают это только тогда, когда процентная ставка изменяется в их пользу.

Более сложные измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических данных, известных как частичные моменты низких порядков. Полудисперсия является аналогом дисперсии, но в ее вычислении используются только те возможные доходности, которые лежат ниже ожидаемой доходности. Полудисперсия является среднеквадратичным отклонением вниз от ожидаемой доходности, она снижает привлекательность ценных бумаг с относительно высоким потенциальным недобором. Применительно к ценным бумагам, доходность по которым имеет распределение, отличающееся от нормального и "логнормального", эти измерители риска более приемлемы интуитивно и более гибки, чем традиционные измерители риска.

Стандартное отклонение измеряется на основе средней величины распределения доходности. Но инвестор может захотеть оценить инвестиции, используя какую-либо величину как цель, например доходность на индекс рынка, или просто число, такое как 0%. Измеритель риска понесения убытков может учитывать все эти предпочтения. Однако использование измерителей риска понесения убытков создает некоторые проблемы. В частности, они игнорируют возможность получения результатов, превышающих целевую доходность. Альтернативой использования этих измерителей риска является прямой учет смещенности при оценке инвестиций. В качестве альтернативы можно предположить, что инвестор анализирует потенциальные инвестиции, не только исходя из их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, но и с точки зрения величины их смещения вправо. В сущности, риск становится многомерным, т.к он включает и стандартное отклонение, и смещенность. Если две инвестиции имеют одинаковую ожидаемую доходность и одинаковое стандартное отклонение, то предпочтение отдается инвестиции, наиболее смещенной вправо. Ни от одной меры риска нельзя ожидать, что она будет показывать точные результаты в любых обстоятельствах. Стандартное отклонение доказало свою эффективность в большинстве ситуаций, с которыми сталкиваются практики. В тех случаях, когда оно не является адекватной мерой, альтернативы должны рассматриваться не только в свете того, как хорошо они описывают распределение доходности, но и с точки зрения сложностей, которые они вносят в анализ. Теперь рассмотрим, как вычисляется стандартное отклонение портфеля. Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, формула выглядит следующим образом:

(5)

где

- обозначает ковариацию доходностей ценных бумаг i и j.

Таким образом:

1. Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности.

2. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля.