Знаходження регресійних залежностей. Наступним кроком є кількісний аналіз статистичних зв’язків доходу (сукупного чи окремої його складової) з відповідними екзогенними змінними (з кожною окремо та їх сукупностями), Завдання полягає в тому, аби для того чи іншого сполучення екзогенних змінних спробувати одержати рівняння регресії, яке б адекватно відбивало фактичне, представлене статистичними даними співвідношення між доходом як залежною змінною та згаданими екзогенними змінними.
Функціональна форма рівняння регресії може виявитися лінійною або нелінійною відносно змінних. У разі нелінійної форми слід виконати процедуру лінеаризації, тобто шляхом еквівалентних перетворень нелінійного рівняння, позначимо його у = f ( х ), перейти до лінійного z = z ( w ), члени якого є відомими функціями відповідних членів вихідного рівняння: z = z ( y ), w = w ( x ). Наприклад, із степеневого рівняння у = ахb утворюємо лінійне z = а + bw, де z = lny, w = lnx; для показового рівняння у = а x bx будемо мати рівняння lnу = lnа + х х lnb, лінійне відносно lnу та х, і таке інше. Відповідно до нових змінних перетворюються й вихідні дані. Для множинної лінійної регресії можна записати:
(4) де у - оцінка (математичне сподівання) середньої величини доходу залежно від значень, шо їх приймають екзогенні змінні х1,х2,...,xk, які кількісно характеризують фактори впливу: k - кількість факторів; a0 - постійна складова у; аi - коефіцієнт регресії при і-тому факторі; - середнє арифметичне фактичних (вибіркових) значень і-тої екзогенної змінної - = , n – обсяг спостережень (довжина ряду).
Вираз (4) є рівнянням регресії, яке має відображати зміну середньої величини доходу відповідно до зміни величин екзогенних змінних за умови взаємо-погашення всіх інших - випадкових по відношенню до врахованих - чинників. Тож регресія має найкращим (у певному розумінні) чином наближатися до фактичних (вибіркових) значень доходу. Наближення регресії до фактичних даних визначається параметрами регресії а0, а1, а2,..., аk, які лишаються невідомі. Оцінювання параметрів здійснюється за фактичними значеннями доходу та екзогенними змінними, відповідно gi, та xj1, xg2,…, xjk, j = 1, 2,…, n, n > k + 1.
Існують різні способи оцінювання параметрів регресії. Найпростішим, найуніверсальнішим і найпоширенішим є метод найменших квадратів. За цим методом параметри визначаються виходячи з умови, що найкраще наближен-ня, яке мають забезпечувати параметри регресії, досягається, коли сума квадратів різниць між фактичними значеннями доходу та його оцінками є мінімальною, що можна записати як
. (5)
За методом найменших квадратів постійний член а0 дорівнює середньому арифметичному фактичних значень доходу:
, (6)
а решту k параметрів знаходять через розв’язання системи k нормальних рівнянь:
, l = 1,2,…, k.. (7)
Якість оцінки середньої величини доходу характеризує середньоквадратична помилка регресії, яка є мірилом розкиду фактичних значень доходу відносно регресії:
, (8)
де - сума квадратів відхилень фактичних значень доходу від тих, що дає рівняння регресії (4); n - (k +1) - число ступенів свободи. Чим менше S, тим вища якість оцінки доходу.
Іншим показником якості регресії є коефіцієнт детермінаиії. Він базується на зіставленні дисперсії доходу відносно регресії з його дисперсією по відношенню до свого середнього вибіркового (фактичного) значення. Коефіцієнт детермінації показує, яку частку від загальної варіації доходу становить детермінована складова, що її виявляє і враховує регресія, або яку чзстку варіації вона пояснює. Коефіцієнт детермінації розраховується за формулою:
(9)
R2 може приймати значення у межах 0 £ R2 £ 1. Чим більше R2 наближається до 1, тим більша пояснювальна спроможність регресії, тим тісніший зв’язок доходу з екзогенними змінними, які його пояснюють. Ситуація, коли R2= 1, означає переростання статистичної залежності у функціональну, детерміновану. Випадок R2 = 0 свідчить про відсутність будь-якого зв’язку між доходом та екзогенними змінними.
Знайдені за даними спостережень значення параметрів регресії являють собою статистичні оцінки цих параметрів, одержані на основі обмеженої ін-формації, що містять у собі виборки у вигляді рядів. Через обмеженість вибіркових даних можливі ситуації, коли істинне значення параметра дорівнює нулю, тоді як розраховане внаслідок випадкових коливань даних, на базі яких його обчислено відмінне від нуля. Відтак виникає потреба у перевірці статистичної значущості параметрів регресії.
Використання моделі. Прогнозування майбутніх значень доходу грунтуєть-ся на припушенні. що загальні умови, які визначали динаміку доходу прртягом проміжку часу, котрий є базовим для знайдених регресійних моделей, не зазнають серйозних змін у прогнозному періоді й попередня тенденція, яку описують згадані моделі, може бути продовжена у маибутнє (екстрапольована). Відтак прогноз доходу здійснюється підстановкою в рівняння регресії значень незалежних змінних, що визначають умови, для яких робиться прогноз.
Одержане в такий спосіб значення Ут є точковою оцінкою доходу, який у середньому можна очікувати за визначених умов. Точність цієї оцінки харак-теризується середньоквадратичною (стандартною) помилкою:
(10)
де хi, хl — значення екзогенних змінних, що задають умови прогнозу відповідно в і-тій та l-тій нумерації (хi = хl при і = l); це ж стосується середніх вибіркових значень ,. Стандартна помилка Sт є розмірною величиною і подає абсолютне стандартне відхилення від очікуваного середнього доходу. Щоб мати уявлення про масштаб цієї помилки, її можна віднести до обчисленого прогнозного значення доходу й одержати нерозмірну відносну стандартну помилку:
(11)
Від точкової оцінки прогнозу доходу можна перейти до інтервальної. Інтервальна оцінка встановлює відповідність між обраним рівнем достовірності і граничною помилкою прогнозу, яка при цьому може трапитись, або ж між обраною гранячною помилкою прогнозу та його достовірністю. У першому випадку попередньо слід задати (обрати) рівень надійності (1-а)x100% і за таблицею t-розподілу знайти значення t-cтатистики, яке відповідає обраному а та числу ступенів свободи n - k - 1. Тоді інтервал надійності, що визначає діапазон значень, який із надійністю (вірогідністю) (1-а)x100% покриває істинне значення доходу Ут, становитиме:
Ут - taSт < Ут < Ут + taSт. (12)
Величина ± taSт є мірилом точності прогнозу - вона показує, якою може бути гранична помилка прогнозу при обраному (заданому) рівні надійності. Точніcть прогнозу може також характеризуватися відносною граничною помилкою ±taSт x (100%) / YT.
Серед конкуруючих варіантів прогнозів, звичайно, перевагу має той, в якого найменша гранична помилка. У випадку, коли оцінюється надійність прогнозу при певному рівні точності, заданою є величина d = ½ taSт ½, по ній обчислюють величину t-статистики, як ta = d / Sт в таблиці t-розподілу знаходять найближче до неї значення при відомій кількості ступенів свободи n – k - l і величину k, що відповідає цьому значенню й визначає надійність прогнозу: (1 — а) x 100%.
3 усього викладеного випливає кілька загальних міркувань, пов’язаних із практичною реалізацією розглянутих процедур.
Із виразів (8), (10) видно, що при зменшенні обсягу спостережень, цебто скороченні довжини рядів динаміки п, розмір середньоквадратичних помилок регресії S і точкової оцінки доходу Sт, як і значення статистики ta (при фіксованому рівні значущості a), зростають, внаслідок чого точність прогнозу знижується (збільшується гранична помилка прогнозу taSт). Це підтверджує зроблену раніше загальну рекомендацію мати по можливості довші ряди. Водночас довжина ряду має бути не формальною, а такою, щоб на всьому проміжку часу, який охоплює цей ряд, процес зміни доходу в якісному й кількісному від-ношенні був той самий, відбувався під впливом того ж комплексу основних факторів, які й визначають рух даного динамічного ряду.
Тенденція у поведінці доходу в межах ряду не може зазнавати різких змін (зламів). Якщо таке трапляється, ряд слід скоротити до проміжка, в якому діє остання за часом тенденція. Виявити наявні тенденції допомагає графічне зображення зміни величини доходу в часі. Слід мати на увазі: якщо зменшен-ня кількості спостережень п веде до зниження точності прогнозу внаслідок збільшення граничного відхилення від середнього прогнозного значення (taSт), то помилка у виявленні тенденцй (зокрема, через приєднання спостережень, які передують останній, новій тенденції) означає помилку в оцінці самого середнього значення ут.
Збільшення числа спостережень можливе шляхом використання рядів із меншим проміжком часу між спостереженнями. У цьому разі зменшення абсолютної помилки прогнозу досягається не лише завдяки збільшенню числа спостережень, а й за рахунок того, що дохід за менший проміжок часу (скажімо, місячний) буде менший, ніж дохід за більший проміжок (квартальний, річний). Тому порівняння точності прогнозів слід здійснювати за допомогою відносних помилок.
Розглянута методологія передбачає використання пакетів прикладних програм для розв’язування задач математичної статистики, економетрики, аналізу рядів і т. ін.
Викладені више міркування покладено в основу робіт, які розпочало Київське міське фінансове управління з метою вдосконалення методів практичної роботи з анадізу та прогнозування доходів бюджету по місту Києву [16,c.15]. Розглянемо та проаналізуємо доходні статті бюджету міста Києва за 1997 - 1999 роки та за планом на 2000 рік (див.таб.6).
Як ми бачимо за останні три роки, при більш-менш стабільному розмірі доходів бюджету (див.графік 1), основне місце у доходних джерелах по місту Києву належить податковим надходженням – від 84 до 93 % (див.діаграми 2-5 та таб.6). На другому місці знаходяться джерела неподаткових надходжень від 4 до 9 %. Державні цільові фонди посідають предостаннє місце у бюджетному наповнені, хоча у 1999 році та за планом на 2000 рік вони за своєю часткою майже дорівнюють частці неподаткових надходжень за рахунок неотримання офіційних трансферів. Офіційні трансфери мали місце лише у 1998 році у розмірі 123821,9 тис. грн., а взагалі за останні роки бюджет компенсує їх створенням власних позабюджетних фондів, що говорить про тенденцію до збільшення самостійності місцевого самоврядування.