r365=r360/360*365 (7)
r360=r365/365*360 (8)
де r365 - ставка відсотку на базі 365 днів; r360 - ставка відсотку на базі 360 днів.
Приклад
r360 = 15. Визначити ставку відсотку на базі 365 днів. Відсоткова ставка дорівнює:
r365=15%/360*365=15.21%
В прикладі відсоткова ставка на базі 365 днів дорівнює 15,21%, а для 360 днів — тільки 15%. Такий результат одержується в зв'язку з тим, що в першому випадку додатково передбачається нарахування відсотків ще протягом 5 днів.
Якщо період нарахування відсотків вимірюється в місяцях, то формули (5) і (6) можна представити наступним чином:
Pt = Р(1+rt/12) (9)
де t — кількість місяців, протягом яких нараховується відсоток; Рt — сума, яку інвестор отримає через t місяців.
Приклад
50000 грн. надані підприємству в кредит на шість місяців за ставкою 8% річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення. Вона дорівнює:
Рt = 5ОООО(1 + 0,08*6/12 ) = 52000 грн.
Складний відсоток: нарахування відсотку один раз на рік
У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують нарахування складних відсотків. При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на основну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування.
Відповідно до ідеології нарахування складних відсотків за перший період нарахування відсотків базою для нарахування є основна сума:
Р1 = Р(1 +r)
Відмінність результатів для складного і простого відсотків виникає, починаючи з другого періоду нарахування, оскільки в кінці другого року його капітал зросте до:
Р2= Р (1 + r) + Р(1 + r) r = Р (1 + r) (1 + r) = Р (1 + r)2
В кінці третього року він складе:
Р3= Р(1 +r)2 + Р(1 + r)2 r=Р(1 + r)2(1 + r)=Р(1 +r)3
Аналогічно можна показати, що через п років сума на рахунку зросте до величини:
Рn = Р(1+r)n(10)
Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансових розрахунках, тому для зручності користування значення множника, який носить назву мультиплікованого множника і який забезпечує нарощення вартості, табульовані для різних значень г і n.
Приклад
250000 грн. інвестовані на 4 роки під 6% річних. Яку суму одержить інвестор в кінці строку?
P4 = 250000 * (і + О.Об)4 = 250000 • 1.262 = 315500 грн.
Нарахування відсотків декілька разів на рік. Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Нарахування складних відсотків декілька разів на рік називається компаундингом. Як правило, у фінансових контрактах фіксується річна відсоткова ставка і при цьому відсотки можуть нараховуватися по півріччях, кварталах, місяцях тощо. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. В цьому випадку річна ставка називається номінальною, а відсоткова ставка за один інтервал нарахування вважається рівною відношенню номінальної ставки до кількості інтервалів в році. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:
Pn=P(1+r/m)rm (11)
Де m — періодичність нарахування відсотку протягом року.
Приклад
На вклад до банку в розмірі 9000 грн. строком на 5 років банк нараховує 18% річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків: а) що півроку; б) щоквартально?
а) Р5 = 9000 (1 +0.18/2)5*2=21306.27грн.
б) Р5 = 9000 (1 +0.18/4)5*4=21705.43грн.
Отже, можна зробити висновок, що при фіксованій номінальній ставці є необхідним зазначення частоти нарахувань, оскільки зі зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний доход зростає.
Комбінація простого і складного відсотків. Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілої кількості років. В даному випадку відсотки можуть нараховуватись або за схемою складних відсотків (формула (10)), або за схемою, яка передбачає нарахування відсотків, що включає і складний, і простий відсотки (за змішаною схемою). Наприклад, кошти вкладника знаходяться на рахунку в банку п років і І днів. Відсотки капіталізуються (тобто приєднуються до основної суми коштів, на яку нараховується відсоток) в кінці кожного року. Протягом року нараховується простий відсоток. Для такого випадку суму, яку одержить інвестор, можна розрахувати за наступною формулою:
Рn+t= Р(1+r)n(1+rt/360) (12)
де Рn+t — сума, яку одержить інвестор за n років і t днів; Р — початково інвестована сума; t — число днів, за які нараховується простий відсоток; r — відсоток, що нараховується протягом року. На практиці в даному випадку часто користуються формулою складних відсотків з відповідними нецілими показниками ступеня. Але потрібно взяти до уваги, що з точки зору сутності нарахування відсотків цей спосіб є приблизним і погрішність при розрахунках буде тим більшою, чим більше значення величин, що входять до формули. Потрібно враховувати, що приблизний метод дає менший, ніж є в дійсності, результат.
Таким чином, в ситуації, коли номінали грошових сум досить високі, від цього методу краще взагалі відмовитися. .
Приклад
Нехай 6000 грн. інвестовані на 1 рік і 4 місяці під складні відсотки за ставкою 22% річних. Знайти нарощену до кінця строку суму а) за схемою складних відсотків; б) за змішаною схемою.
| а)6000(1 + 0,22)1.33 = 7816,45 грн. |
6)6000(1 + 0,22)1(1 + 0,22*120/360) = 7856,8 грн.
В залежності від того, коли вкладник розміщує кошти на рахунку, простий відсоток може нараховуватись також на початку періоду інвестування коштів або і на початку, і в кінці. Суми, які одержить вкладник, можна розрахувати за допомогою формул (13) і (14) (капіталізація відсотків здійснюється щорічно):
Pn+t=(1+rt/360)(1+r)n (13)
Pn+t1+t2=(1+rt1/360)(1+r)n(1+rt2/360) (14)
Дисконтована вартість. У фінансових розрахунках виникає необхідність порівнювати між собою різні суми грошей в різні моменти часу.
Щоб порівняти суми грошей в часі, їх необхідно привести до одного часового знаменника. В практиці фінансових розрахунків прийнято приводити суми коштів, які одержить інвестор, до сьогоднішнього дня (початкової точки відліку), тобто визначити величину суми Р, яка в майбутньому повинна скласти задану величину Рn. В цьому випадку Р буде називатись поточною (теперішньою, приведеною) величиною суми Рn.
Теперішня вартість — грошова вартість майбутніх доходів на теперішній час. Розрахунки теперішньої вартості здійснюють за допомогою дисконтування.
Дисконтування — це зведення економічних показників різних років до порівнянного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування (дисконтуючого множника), в основі якого лежить формула складних відсотків і значення якого також табульовані.
Цю задачу вирішують за допомогою формули (15), яка називається формулою дисконтованої або приведеної вартості. Вона випливає з формули (10):
P=Pn/(1+r)n(15)
де Рn — це майбутня вартість;
P— дисконтована або приведена вартість (в літературі в якості синонімів використовують також терміни сьогоднішня, дійсна, поточна вартість);
1/(1+r)n - коефіцієнт дисконтування. Економічний зміст даного коефіцієнта полягає в тому, що його величина відповідає поточній вартості однієї грошової одиниці, яка буде одержана в кінці періоду п при складному відсотку г. Його величина залежить від тривалості часового періоду і необхідної ставки дисконту.
Формула (15) використовується і при оцінці облігацій з нульовим купоном. Оскільки грошові надходження по цій облігації за роками, за винятком останнього, дорівнюють нулю.
Приклад
Визначити поточну вартість облігації з нульовим купоном номінальною вартістю 5000 і строком погашення 12 років, якщо прийнятна норма прибутку складає 14%.
Vt=5000/ (1 + 0.14)12=1038 грн.
При нарахуванні складного відсотку т разів на рік формула (15) набуває вигляду:
P=Pn/(1+r/m)m*n (16)
а для відсотку, що нараховується безперервно:
P=Pn/Em (17)
На підставі формул (15), (16) і (17) одержуємо відповідно формули дисконтованої вартості для простого відсотку:
P=Pn/(1+nr) (18)
P=Pn/(1+rt/360) (19)
P=Pn/(1+rt/365) (20)
Визначення періоду нарахування відсотків. На практиці виникають питання визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми Р до значення Рnпри нарахуванні відсотку r.
Для простого відсотку з формули (18) одержимо:
n=(Pn/P-1)/r (21)
Приклад
За який строк вклад в 8000 грн. збільшиться в 3 рази при ставці 20% річних?
n=(24000/8000-1)/0.2=10 л.
Приклад
За який строк вклад в 5000 грн. зросте до 13500 грн. при ставці 25% річних?
n=(13500/5000-1)/0.25=6.8 л.
Нехай рік дорівнює 365 дням, тоді 0,8 року еквівалентно t = 0.8*365 = 292 дні. Таким чином, вклад буде дорівнювати 13500 грн. через 6 років і 292 дні.
З формул (19) і (20) період І буде дорівнювати відповідно:
t=(Pt/Р-1)*360/r(22)
t=(Pt/Р-1)*360/r (23)
Рентні платежі (ануїтети) та їх оцінка
Визначення майбутньої вартості потоку платежів.Нехай інвестор протягом певного періоду часу в кінці кожного року одержує платежі, які не є однаковими. Якщо він буде інвестувати суму кожного платежу на час до закінчення даного періоду, то після його завершення одержить деяку суму грошей, яку називають майбутньою вартістю потоку платежів.
Майбутню вартість потоку платежів можна визначити за формулою:
F= Ct(1+r)n-t (24)
де F—майбутня вартість потоку платежів;
Сt — сума платежу за рік і;
r— відсоток, під який інвестується сума Сt;
n — кількість років, протягом яких проводяться виплати. і Як видно з формули (24), нарахування відсотків на перший платіж здійснюється протягом (n— 1) року, тоді як сама виплата відбувається тільки в кінці першого року.