Сделки на фондовой бирже (стр. 6 из 10)
Поскольку период действия опционного контракта рассчитан, как правило, на большое число интервалов времени, то делается допущение, что прирост курсовой стоимости и равен 1, деленной на процент падения курсовой стоимости, т.е. и = 1/d.
К моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать два значения, а именно, О или Р-Е для опциона «колл» и О или E-P для опциона «пут», где Е — цена исполнения опциона; Р — курс акции. Для того чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода Т, необходимо определить стоимость опциона для начала каждого периода t, т.е. в каждой точке пересечения ветвей дерева. Эту задачу решают последовательным дисконтированием.
Если известна стоимость опциона в конце периода Т, то для получения его стоимости в начальном периоде выполняется дисконтирование.
В условиях отсутствия риска ожидаемый доход от акции на период tдолжен составить Сеrt, где r — непрерывно начисляемая с помощью сложных процентов ставка без риска. С учетом значения математического ожидания ожидаемый доход будет равен:
или
Из формулы (10.7) найдем:
Прирост или падение курсовой стоимости акции, как отмечалось ранее, зависит от фактора времени, в течение которого могут наблюдаться изменения курса ценной бумаги и ее стандартного отклонения. Отсюда вытекают следующие зависимости:
где и и d— соответственно «верхнее» и нижнее положение курсовой стоимости акции.
Таким образом, формулы (10.8) позволяет оценить вероятность повышения или понижения курса акций.
Пример. Пусть курс акций в начале периода равен 40 дол., стандартное отклонение цены акции — 35%, непрерывно начисляемая ставка без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения курса акций через месяц.
Используя указанные формулы (10.8 и 10.9) расчета, получим:
Следовательно, вероятность повышения курса акции через один месяц составляет 0,5163, а вероятность его понижения — 0,4837.
Зная значения и иd, можно рассчитать курсовую стоимость акции для любого периода времени, т.е. для каждой точки пересечения ветвей дерева, к примеру указанного на рис. 10.2.
Если же рассматривается биноминальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды, что в основном сказывается на размере премии, то курс акций на дату учета снижается на величину выплачиваемого дивиденда. Соответственно, дерево распределения цены акции принимает с учетом допущения вид, аналогичный указанному выше. При этом чистая цена акции уменьшается на величину приведенной (дисконтированной) стоимости дивиденда, имеющего место в течение срока исполнения опциона.
Американскими профессорами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 г. была опубликована статья, в которой авторы предлагали расчет стоимости (теоретической премии) опциона «колл» при большом числе возможных стоимостей актива (больше чем два), часть из которых может быть ниже цены исполнения опциона.
Получившая в честь своих авторов название формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид:
где
где Vс — текущая цена опциона «колл»; Ра — текущая рыночная цена базисного актива; Е — цена исполнения опциона; R — непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год; Т — время до истечения, представленное в долях в расчете на год; σ — риск базисной обыкновенной акции, измеренный стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчет на год; Е/еRt — дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента; N(d1) и N(d2) — вероятности того, что при нормальном распределении со средней величиной, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d1и d2.
Данная формула (10.10) до недавнего времени имела ограниченное применение, поскольку в США опционы являются американскими, т.е. могут исполняться в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка-Шоулза применима для европейских опционов. Вместе с тем это ограничение легко снимается, поскольку инвестору, купившему американский опцион, нет смысла исполнять его раньше даты истечения из-за отсутствия дивидендов на акции.
Опцион, который продается по гораздо более низкой цене, чем полученной по формуле Блэка-Шоулза, является кандидатом на покупку. Опцион, который продается по более высокой цене, — кандидат на продажу.
Формула Блэка-Шоулза, как показано выше, применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Однако по большинству обыкновенных акций, на которые выписываются опционы, дивиденды, как правило, уже выплачены. Вместе с тем, чтобы обойти этот недостаток применения указанной формулы расчета стоимости опциона, в нее должны быть внесены некоторые изменения, связанные с ценой исполнения опциона.
Пример. Рассмотрим опцион «колл», который истекает через три месяца (Т = 0,25) и имеет цену исполнения 40 дол. (Е = 40 дол.), текущий курс 36 дол. (Vс = 36 дол.), риск базисной обыкновенной акции 50% (σ = 0,5), a ставка без риска равна 5% (R = 0,05).
С помощью уравнений (10.11) и (10.12) получим следующие значения d1, и d2:
По специальной таблице находим величины N(d1) и N(d2)
Используя уравнение (10.10), получим действительную стоимость опциона «колл»:
Если учесть то, что в настоящее время опцион продается за 5 дол. и в ближайшее время цена его, по-видимому, упадет, то продавец получит премию 5 дол. и сможет также рассчитывать на закрывающую позицию покупки по более низкой цене, что принесет вред доходу от разницы цен. До тех пор пока цена акции не превысит 40 дол., покупатель опциона «колл» не будет его исполнять, а следовательно, ему нет смысла платить высокую премию за опцион.
Действительная стоимость опциона «колл» зависит от пяти переменных, к которым следует отнести:
· рыночную стоимость обыкновенной акции (Ра);
· цену исполнения опциона (E);
· продолжительность времени до даты истечения (T);
· ставку без риска (R);
· риск обыкновенной акции (σ).
Каждая из указанных переменных оказывает разное влияние на действительную цену опциона «колл». Так, чем выше цена базисной акции, тем больше стоимость опциона «пут». При высокой цене исполнения — меньше стоимость опциона «колл». Чем больше времени остается до даты истечения опциона «колл», тем больше его стоимость. Высокая ставка без риска обыкновенной акции а определяет повышенную стоимость опциона «колл». Высокий риск обыкновенной акции соответствует большей стоимости опциона «колл».
Из указанных пяти переменных влияние первых трех (Рa, Еu, Т) определить сравнительно легко. Для оценки ставки без риска и риска обыкновенной акции используются другие методы. Так, например, для определения ставки без риска производится сравнение анализируемого опциона «колл» с доходностью к погашению векселя, дата которого близка к дате истечения опциона.
Для нахождения риска обыкновенной акции, как правило, используется множество методов: сравнения, аналогий, экстраполяции, экспертные, моделирования. Каждый из указанных методов позволяет получить оценку s, которая затем анализируется с точки зрения достоверности и надежности на других прошлых опционах «колл». Полученное значение s не является само по себе точным, поскольку всегда были и будут существовать факторы, определяющие вероятность наступления какого-то события, влияющего на курс ценных бумаг.
Анализ действительной стоимости опциона «пут» показывает, что он зависит от тех же пяти переменных, которые формируют опцион «колл». При этом стоимость опциона «пут» зависит от них следующим образом:
· чем выше цена базисной акции Рa, тем меньше стоимость опциона «пут»;
· чем больше цена исполнения Е, тем больше стоимость опциона «пут»;
· чем больше остается времени до даты истечения Т, тем, как правило, больше стоимость опциона «пут»;
· чем выше ставка без риска R, тем меньше стоимость опциона «пут»;
· чем больше риск обыкновенной акции о, тем больше стоимость опциона «пут».
Практически все методы, используемые для оценки влияния переменных на действительную цену опциона «колл», могут быть применены для определения цены опциона «пут». Вместе с тем, если учесть выплаты по опциону и занять средства под процент без риска, тогда покупка акции и продажа опциона «колл» будут аналогичны инвестированию в безрисковый актив.